Как доказать, что $$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{4}}}=\frac{\pi}{8}\,?$$

задан 13 Сен 3:02

10|600 символов нужно символов осталось
3

Замена $%x^2=t$% приводит к $%\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\sqrt t}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}}dt$%, после чего, заметив, что замена $%t=\dfrac{1}{y}$% приводит к $%\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^\infty\dfrac{\sqrt y}{(1+y^2)\sqrt{y^2-1}}dy$%, делаем вывод, что исходный интеграл равен $%\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_0^\infty\dfrac{\sqrt y}{(1+y^2)\sqrt{|y^2-1|}}dy$%.

Рассмотрим контур -- верхняя полуокружность радиуса $%R>2$%, замкнутая отрезком действительной оси, точки $%-1,0,1$% обходятся по маленьким верхним полуокружностям радиусов $%r<\dfrac{1}{2}$%. В области внутри контура рассмотрим функцию $%f(z)=\dfrac{g_1(z)}{(1+z^2)g_2(z)}$%, где $%g_1(z)\in\{\sqrt z\}$%, $%g_2(z)\in\{\sqrt {z^2-1}\}$%. Значения этих ветвей выбираем так: при $%x\in(r,1-r)$% $%g_1(x)=\sqrt {|x|},\;g_2(x)=\sqrt {|x^2-1|}$%, тогда, учитывая приращения, получаемые аргументами остальные значения будут таковы: $$x\in(1+r,R)\implies g_1(x)=\sqrt {|x|},\;g_2(x)=-i\sqrt {|x^2-1|},$$$$x\in(-1+r,-r)\implies g_1(x)=i\sqrt {|x|},\;g_2(x)=\sqrt {|x^2-1|},$$$$x\in(-R,-1-r)\implies g_1(x)=i\sqrt {|x|},\;g_2(x)=i\sqrt {|x^2-1|}.$$ Таким образом, $$\int\limits_{\Gamma_{r,R}}f(z)dz=\displaystyle\int\limits_{-R}^{-1-r}\dfrac{\sqrt{|x|}}{(1+x^2)\sqrt{|x^2-1|}}dx+i\displaystyle\int\limits_{-1+r}^{-r}\dfrac{\sqrt{|x|}}{(1+x^2)\sqrt{|x^2-1|}}dx+$$$$+\displaystyle\int\limits_{r}^{1-r}\dfrac{\sqrt{|x|}}{(1+x^2)\sqrt{|x^2-1|}}dx+i\displaystyle\int\limits_{1+r}^{R}\dfrac{\sqrt{|x|}}{(1+x^2)\sqrt{|x^2-1|}}dx+\left(\int\limits_{\Gamma_R}+3\int\limits_{\Gamma_r}f(z)dz\right)=2\pi i\mathrm{res_i}f(z).$$

В скобках сокращённо указаны интегралы по всем полуокружностям, которые стремятся к нулю при соответствующем предельном переходе. Поскольку $%\mathrm{res_i} f(z)=\dfrac{g_1(i)}{2ig_2(i)}=\dfrac{1+i}{4i}$%, то, переходя к пределу и отделяя, скажем, действительную часть (тут без разницы), получим, что $$\int\limits_{-\infty}^{-1}\dfrac{\sqrt{|x|}}{(1+x^2)\sqrt{|x^2-1|}}dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\sqrt{|x|}}{(1+x^2)\sqrt{|x^2-1|}}dx=\dfrac{\pi}{2}.$$

С учётом чётности это даёт $%\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{(1+x^2)\sqrt{|x^2-1|}}dx=\dfrac{\pi}{2}.$%

ссылка

отвечен 13 Сен 15:38

изменен 13 Сен 17:18

2

@caterpillar Благодарю. Можно ещё сделать так: делаем замену $%x=t^{1 / 4}$%, а потом ещё одну $%y=\frac{1-t}{1+t}$% и ещё одну $%y=w^{1 / 2}$%. В итоге получим $%\frac{1}{8 \sqrt{2}} \int\limits_{0}^{1} w^{\frac{1}{4}-1}(1-w)^{\frac{3}{4}-1} d w$%. И я кстати немного не понимаю оборот "обходятся по маленьким..." - можете объяснить?

(13 Сен 18:06) Rene

"обходятся по маленьким..." - можете объяснить? - особые точки вырезают ... вместо отрезка на оси получается контур вида $%-\cap - \cap -\cap -$% ... а потом переходят к пределу при радиусах, стремящихся к нулю...

(13 Сен 18:44) all_exist

@all_exist Не, как раз таки смысл понял. Я просто саму запись/формулировку не сразу понял :)

(13 Сен 18:46) Rene

@Rene, "обходятся" тут имеет смысл "обходить стороной/держаться подальше")) Поскольку такие вещи с вырезанием особенностей стандартны, я не стремлюсь их описывать максимально строго. Проще всего было это формулами описать, но страшно бы выглядело...

(13 Сен 18:54) caterpillar

@caterpillar Понимаю вас. Я просто не изучал математику углублённо на русском и мне не всегда все формулировки понятны.

(13 Сен 18:57) Rene

@caterpillar вы также могли бы применить комплексное интегрирование к первому интегралу: $%\displaystyle\frac{1}{4} \int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{|x|}}{(1+x^{2}) \sqrt{(1+t)(1-t)}} d t$% и рассмотрим замкнутый контур вокруг разреза [-1;1]. Затем добавляем путь интегрирования [1;R], полный оборот по большой окружности радиуса R против часовой стрелки, а затем обратно [R;1]. Интеграл по большой окружности равен нулю при R→∞; интегралы по оси X взаимно друг друга отменяют. Мы получаем замкнутый контур с двумя вычетами при z=±i, и нам нужно тщательно оценивать каждое изменение фазы при обходе -1,0,1.

(14 Сен 22:20) Rene
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
3

alt text

ссылка

отвечен 15 Сен 13:31

@Amir Отличная подстановка и использование бета-функции!

(16 Сен 18:17) Rene
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,950
×1,407

задан
13 Сен 3:02

показан
185 раз

обновлен
16 Сен 18:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru