|
По мотивам задачи для 5 класса, also. $%\begin{array}{l} {\text{Найдите }}x \cdot y \cdot z{\text{, если }}x + y + z = 1,{\text{ }}{x^3} + {y^3} + {z^3} = 2,{\text{ }}{x^5} + {y^5} + {z^5} = 3. \hfill \\ (x,{\text{ }}y{\text{ и }}z{\text{ - комплексные числа}}) \hfill \\ \end{array} $% задан 13 Сен '21 15:39 
Igore |
|
Ниже решение в пакете Maple, но можно решать и вручную, опираясь на теорию симметрических многочленов (в данном примере от 3 переменных). Хорошо известно, что любой симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические многочлены. В данном примере сначала нужно выразить x^3+y^3+z^3 и x^5+y^5+z^5 через x+y+z=u, xy+yz+xz=v, xyz=w. Ответ xyz=2/15 :
отвечен 13 Сен '21 20:46 
Юрий Николаевич |
Стандартная, но в то же время нудная задача с симметрическими многочленами. У меня получилось $$xyz=\frac{2}{15}$$, причём основные переменные $$x,y,z$$ действительно оказываются комплексными числами.
По-моему, 2/15 будет.
Понятно, что с помощью симметрических многочленов всё должно решаться стандартно, а короткого решения, вероятнее всего, тут нет.
Сначала я подумал, что задача потребует больших выкладок с многочленами, потом вспомнил про тождества Ньютона-Жирара, по которым задача решается мгновенно.
@Igore: так это фактически то же самое, потому что тождества выводятся этим же способом. Здесь нет совершенно ничего нового -- таких задач было даже на форуме очень много.