По мотивам задачи для 5 класса, also.

$%\begin{array}{l} {\text{Найдите }}x \cdot y \cdot z{\text{, если }}x + y + z = 1,{\text{ }}{x^3} + {y^3} + {z^3} = 2,{\text{ }}{x^5} + {y^5} + {z^5} = 3. \hfill \\ (x,{\text{ }}y{\text{ и }}z{\text{ - комплексные числа}}) \hfill \\ \end{array} $%

задан 13 Сен 15:39

изменен 13 Сен 19:56

Стандартная, но в то же время нудная задача с симметрическими многочленами. У меня получилось $$xyz=\frac{2}{15}$$, причём основные переменные $$x,y,z$$ действительно оказываются комплексными числами.

(13 Сен 20:36) michel

По-моему, 2/15 будет.

Понятно, что с помощью симметрических многочленов всё должно решаться стандартно, а короткого решения, вероятнее всего, тут нет.

(13 Сен 20:46) falcao

Сначала я подумал, что задача потребует больших выкладок с многочленами, потом вспомнил про тождества Ньютона-Жирара, по которым задача решается мгновенно.

(13 Сен 20:49) Igore

@Igore: так это фактически то же самое, потому что тождества выводятся этим же способом. Здесь нет совершенно ничего нового -- таких задач было даже на форуме очень много.

(13 Сен 21:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ниже решение в пакете Maple, но можно решать и вручную, опираясь на теорию симметрических многочленов (в данном примере от 3 переменных). Хорошо известно, что любой симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические многочлены. В данном примере сначала нужно выразить x^3+y^3+z^3 и x^5+y^5+z^5 через x+y+z=u, xy+yz+xz=v, xyz=w. Ответ xyz=2/15 :

alt text

ссылка

отвечен 13 Сен 20:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,013
×334

задан
13 Сен 15:39

показан
97 раз

обновлен
13 Сен 21:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru