Найдите предел последовательности:

$% \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 e^{\{nx\}}x^{2016}dx $%

, где $%\{nx\}$% - это дробная часть.

задан 13 Сен '21 21:39

изменен 14 Сен '21 3:37

Rene's gravatar image


7.6k317

какое нестандартное обозначение дробной части!)

(13 Сен '21 22:10) mihailm
1

@checko_nooke: вообще-то квадратные скобки используются для обозначения целой части, а для дробной нужны фигурные скобки.

Если проблема с набором в TeX'е, где фигурные скобки используются для группировки, то там достаточно знать, что распечатать эти скобки можно при помощи команд +фигурная скобка (то есть ставить "бэкслэш" перед скобкой в математическом режиме).

(13 Сен '21 23:08) falcao
1

@checko_nooke Пусть f(x)=x^2016. Тогда для очень больших n, f по существу постоянна в интервале [k/n, (k+1)/n], что означает, что среднее подынтегральное выражение в этом интервале будет по существу f(x) (где x равно элемент этого интервала), умноженное на среднее значение exp в [0,1], то есть e-1. Получите (e-1)/2017.

(14 Сен '21 0:31) Rene
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сперва выполним замену $%y=nx$%, затем преобразуем, применим теорему о среднем с $%\xi_k\in[k,k+1]$% и получим $$\dfrac{1}{n^{2017}}\int\limits_0^ne^{\{y\}}y^{2016}dy=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_k^{k+1}e^{\{y\}}y^{2016}dy=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_k^{k+1}e^{y-[y]}y^{2016}dy=$$$$=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_k^{k+1}e^{y-k}y^{2016}dy=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{-k}\int\limits_k^{k+1}e^{y}y^{2016}dy=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{-k}\xi_k^{2016}\int\limits_k^{k+1}e^{y}dy=$$$$=\frac{e-1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\xi_k^{2016},\;\;\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^{2016}\le\sum\limits_{k=0}^{n-1}\xi_k^{2016}\le\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)^{2016}.$$

Применяя теорему Штольца, получим, что $$\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^{2016}}{n^{2017}}\sim\frac{n^{2016}}{(n+1)^{2017}-n^{2017}}=\frac{n^{2016}}{2017n^{2016}+...}\to\frac{1}{2017}.$$

Аналогично рассуждаем для оценки сверху. В итоге, по теореме о двух милиционерах предел будет равен $%\dfrac{e-1}{2017}$%.

ссылка

отвечен 14 Сен '21 5:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,291
×869
×420
×254

задан
13 Сен '21 21:39

показан
382 раза

обновлен
14 Сен '21 5:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru