|
Найдите предел последовательности: $% \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 e^{\{nx\}}x^{2016}dx $% , где $%\{nx\}$% - это дробная часть. задан 13 Сен '21 21:39 
checko_nooke |
|
Сперва выполним замену $%y=nx$%, затем преобразуем, применим теорему о среднем с $%\xi_k\in[k,k+1]$% и получим $$\dfrac{1}{n^{2017}}\int\limits_0^ne^{\{y\}}y^{2016}dy=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_k^{k+1}e^{\{y\}}y^{2016}dy=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_k^{k+1}e^{y-[y]}y^{2016}dy=$$$$=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_k^{k+1}e^{y-k}y^{2016}dy=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{-k}\int\limits_k^{k+1}e^{y}y^{2016}dy=\dfrac{1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{-k}\xi_k^{2016}\int\limits_k^{k+1}e^{y}dy=$$$$=\frac{e-1}{n^{2017}}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\xi_k^{2016},\;\;\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^{2016}\le\sum\limits_{k=0}^{n-1}\xi_k^{2016}\le\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)^{2016}.$$ Применяя теорему Штольца, получим, что $$\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^{2016}}{n^{2017}}\sim\frac{n^{2016}}{(n+1)^{2017}-n^{2017}}=\frac{n^{2016}}{2017n^{2016}+...}\to\frac{1}{2017}.$$ Аналогично рассуждаем для оценки сверху. В итоге, по теореме о двух милиционерах предел будет равен $%\dfrac{e-1}{2017}$%. отвечен 14 Сен '21 5:29 
caterpillar |
какое нестандартное обозначение дробной части!)
@checko_nooke: вообще-то квадратные скобки используются для обозначения целой части, а для дробной нужны фигурные скобки.
Если проблема с набором в TeX'е, где фигурные скобки используются для группировки, то там достаточно знать, что распечатать эти скобки можно при помощи команд +фигурная скобка (то есть ставить "бэкслэш" перед скобкой в математическом режиме).
@checko_nooke Пусть f(x)=x^2016. Тогда для очень больших n, f по существу постоянна в интервале [k/n, (k+1)/n], что означает, что среднее подынтегральное выражение в этом интервале будет по существу f(x) (где x равно элемент этого интервала), умноженное на среднее значение exp в [0,1], то есть e-1. Получите (e-1)/2017.