Найдите наименьшее целое а, при котором для всех действительных чисел выполняется неравенство $% x^{4}+2 x^{2}+a \geq 4x$%

задан 18 Окт '13 15:32

изменен 23 Дек '15 22:53

10|600 символов нужно символов осталось
0

По-моему, здесь уже была либо эта самая задача, либо какая-то очень похожая. Но ссылки у меня нет, поэтому проще изложить всё заново.

Неравенство можно переписать в виде $%f(x)=x^4+2x^2-4x\ge-a$%, поэтому задача сводится к исследованию поведения функции $%f(x)$% и нахождения (приближённо) её наименьшего значения.

Производная функции равна $%f'(x)=4(x^3+x-1)$%. Она всюду возрастает, так как её производная $%4(3x^2+1)$% везде положительна. Поэтому $%f'$% обращается в ноль в единственной точке $%x_0$%. Эта точка удовлетворяет уравнению $%x_0^3=1-x_0$%, и для точного её нахождения надо решить кубическое уравнение. Но нас точное значение не интересует, а интересует то, между какими целыми числами расположено значение $%f(x_0)$%. Заметим, что именно оно будет наименьшим значением функции $%f$% на числовой прямой, так как $%f'(x) < 0$% при $%x < x_0$% и $%f'(x) > 0$% при $%x > x_0$%. Поэтому $%f$% убывает при $%x < x_0$% и возрастает при $%x > x_0$%, откуда вытекает нужное утверждение.

Про точку $%x_0$% мы знаем, что она принадлежит интервалу $%(0;1)$% ввиду того, что $%f'(0) < 0$%, а $%f'(1) > 0$%. Из равенства $%x_0^3=1-x_0$% следует, что $%x_0^4=x_0-x_0^2$%, поэтому $%f(x_0)=x_0^4+2x_0^2-4x_0=x_0^2-3x_0$%. Проверим, что $%f(x_0)$% лежит между $%-2$% и $%-1$%. Прежде всего, $%f(1)=-1$%, поэтому $%f(x_0)$% как наименьшее значение строго меньше $%-1$%. Осталось доказать неравенство $%f(x_0) > -2$%. Оно имеет вид $%(x_0-1)(x_0-2) > 0$%, что верно ввиду $%x_0 < 1$%.

Итак, осталось найти наименьшее целое $%a$%, при котором $%f(x_0)\ge-a$%. Это значит, что $%a\ge-f(x_0)=1,...$%, где после запятой имеются какие-то цифры. Отсюда сразу находится наименьшее целое $%a$% с этим свойством.

ссылка

отвечен 18 Окт '13 16:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,232

задан
18 Окт '13 15:32

показан
370 раз

обновлен
23 Дек '15 22:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru