векторы - Интегралы, векторное поле

Выше уже нет возможности комментировать, так что я буду писать сюда, и что-то по необходимости дописывать.

То, что есть ссылка на учебное пособие, это поможет ориентироваться. Давайте тогда разбираться с конкретными типами учебных заданий. Какой именно пример нужно решить Вам, и что написано в учебном пособии по этому поводу? Желательно назвать страницу и номер примера, где разбирается что-то близкое. А там уже дальше будем сравнивать конкретно.

Вот, например, первая из задач 5.4.13. Шрифт там очень мелкий, но я вроде бы разобрал задание. Надо нарисовать тело, ограниченное поверхностями из условия, найти его проекцию на плоскость $%Oxy$%, вычислить площадь полученной фигуры при помощи двойного интеграла, а затем подсчитать объём тела при помощи тройного интеграла.

Полезно было бы ещё знать, какого рода сведениями Вы владеете. То есть, какие простейшие примеры Вы уже разбирали и можете легко с ними справиться. Только при этом не надо "занижать" свои умения. Например, я надеюсь, что простого вида интегралы Вы умеете вычислять.

Продолжение 1. В первой задаче имеется 5 условий: $$x+y-2=0;\ y=0;\ 2x+y-2=0;\ z=0;\ x+z-4=0.$$ Каждое из них представляет собой уравнение плоскости. Поэтому тело, ограниченное этими плоскостями, представляет собой некий многогранник. Форма у него достаточно сложная, и представлять себе итог пока не надо. Начать надо с выяснения того, что происходит в плоскости $%Oxy$%. Она имеет уравнение $%z=0$%. Подставляя это значение $%z$% в условие $%x+z-4=0$%, получаем $%x=4$%. Это значит, что в плоскости $%Oxy$% у нас имеется прямая с таким уравнением, ограничивающая фигуру. Всего уравнений получается четыре -- вместе с первыми тремя. Каждое такое уравнение есть прямая. Надо нарисовать их на координатной плоскости и посмотреть, что они ограничивают, находя при этом все точки пересечения прямых.

В данном случае получается четырёхугольник, который надо изобразить. Устроен он сравнительно просто, и его площадь можно найти без использования двойных интегралов, а просто по обычным школьным формулам. Это будет разность площадей двух треугольников. Но, ввиду того, что в условии требуется использовать интегралы, а также для последующего нахождения объёма тела, полезно решить также при помощи интегрирования. Здесь надо будет подходящим образом расставить пределы интегрирования, но об этом лучше будет поговорить дальше -- после того, как Вы фигуру изобразите.

Продолжение 2. Для того, чтобы построить график линии $%2x+y-2=0$%, надо записать это уравнение в более привычном виде: $%y=2-2x$%. Это линейная функция $%y=kx+b$%, свойства которой подробно изучались в школе.

Продолжение 3. Сейчас Вам надо нарисовать четыре линии, которые ограничивают фигуру в плоскости $%Oxy$%. Их уравнения: $%y=0$%; $%x=4$%; $%y=2-x$%; $%y=2-2x$%. Это совсем просто. Дальше надо заштриховать ограниченную ими фигуру и найти её площадь -- для начала, по школьным формулам.

Продолжение 4. Рисунок у Вас сделан пока что неправильный, потому что не изображены графики прямых $%y=2-x$% и $%y=2-2x$%. Это же наклонные прямые должны быть -- повторите всё-таки материал школьного учебника, где линейные функции и их графики рассматриваются! Это самый простейший вид функций, и с ними надо научиться уверенно работать. Математический анализ связан уже с функциями намного более сложными.

Продолжение 5. Интеграл пока ещё применять рано, потому что этот рисунок пока что не соответствует действительности. У Вас построены не те графики прямых. Напомню, что построить надо было графики для $%y=2-x$% и $%y=2-2x$%. Обе эти функции -- убывающие, так как коэффициент при $%x$% отрицателен. У Вас же изображены возрастающие функции.

При построении графиков линейных функций надо достичь такого уровня, чтобы построение занимало несколько секунд. То есть надо освоить несколько простых приёмов. Если Вы расскажете, каким способом строите эти графики, то я, скорее всего, смогу посоветовать другой способ, при помощи которого всё делается быстрее и проще.

Такого рода вещи приходится применять многократно, поэтому имеет смысл затратить время на то, чтобы всё получалось как следует.

Да, ещё хотел заметить, что $%y=0$% -- это ось абсцисс, то есть ось, идущая по горизонтали.

Продолжение 6. Картинка по ссылке пока осталась старой. Когда там всё будет верно нарисовано, а также правильно найдена площадь фигуры (при помощи школьных методов), можно будет перейти к двойным интегралам.

Продолжение 7. Графики прямых $%y=2-x$% и $%y=2-2x$% нарисованы верно. Это уже хорошо! Но вот в простом случае, для прямой $%x=4$%, график нарисован неверно! Эта прямая должна быть параллельна другой оси. Ведь вдоль этой линии у всех точек одна и та же абсцисса, поэтому точки линии проектируются в одну и ту же точку $%x=4$% на оси абсцисс, и она сама перпендикулярна, а не параллельна оси $%Ox$%.

Не забудьте также, что другая ограничивающая линия $%y=0$% -- это ось именно абсцисс, хотя буква $%y$% ассоциируется с ординатой.

В связи с этим, фигура получается другая, то есть всё надо перерисовать. С нахождением площади всё будет просто, так как там будет разность площадей двух прямоугольных треугольников.

Уровень Вашей подготовки, безусловно, оставляет желать лучшего, но "волшебных" способов приобретения нужного опыта не бывает. Поэтому всё решает терпение и упорство :)