Подскажите с чего начать Через середину катета AC прямоугольного треугольника ABC угол C=90. проведена прямая пересекающая гипотенузу в точке D и продолжение катета BC в точке F. Известно что AD=2 CF=3 и угол ABC=60. Найти гипотенузу(Два случая)

задан 19 Окт '13 0:41

изменен 19 Окт '13 0:53

А что сделать-то надо ? =) что искать ?

(19 Окт '13 0:49) ЛисаА

У Вас тут не сказано, что нужно найти. Правильно ли я понимаю, что в условии не сказано, за какую точку продолжается катет?

(19 Окт '13 0:53) falcao

найти гипотенузу

(19 Окт '13 1:03) parol
10|600 символов нужно символов осталось
1

Середину катета $%AC$% обозначим через $%K$%.

Случай 1: $%F$% расположена на продолжении луча $%BC$% за точку $%C$%.

Проведём через $%A$% прямую, параллельную $%BC$%, и пусть $%FD$% пересекает её в точке $%M$%. Треугольники $%KFC$% и $%KMA$% центрально симметричны, откуда $%AM=CF=3$%. Угол $%DAM$% известен, и по теореме косинусов можно найти $%DM$%. Расстояние от точки $%D$% до прямой $%AC$% равно $%1$%, и из подобия треугольников получается, что $%KD:DM=1:2$%. Это позволяет найти $%KD$% и $%KM=FK$%. По теореме Пифагора находим $%CK$%, и нам становится известен один катет. Зная угол $%ABC$%, находим гипотенузу.

Случай 2: $%F$% расположена на продолжении луча $%CB$% за точку $%B$%.

Пусть $%H$% -- основание перпендикуляра, опущенного из $%D$% на $%AC$%. Расстояние $%DH$% и здесь равно $%1$%. Треугольник $%KDH$% подобен $%KFC$% с известным коэффициентом $%HD:CF=1:3$%. Если $%x=KH$%, то $%CH=2x$%, $%AK=CK=3x$%. Длину $%AH=4x$% мы знаем из треугольника $%ADH$%, про который нам всё известно. Из этого находим $%x$% и всё остальное.

Ответы в обоих случаях получаются "хорошие". Сейчас заметил, что в Случае 1 можно применить ту же идею, что и в Случае 2, и получится попроще.

ссылка

отвечен 19 Окт '13 1:34

не понятно а если F расположена за точку С то она же не пересекает гипотенузу

(19 Окт '13 1:56) parol

@parol, конечно, там тоже есть пересечение ( только точка $%D$% будет лежать "выше" ( ближе к точке $%A$% ))
@parol, а теорему Менелая Вы не учили ? ( по ней решается "сразу".. только учат ее не все.. поэтому хотелось сделать без нее ( но "без нее" у меня (пока) не получилось - получилось у @falcao =) (только там $%KD:DM = 1:3$% ) Упс.. ерунду написала.. это $%KD:KM = 1:3$% ( а если $%KD:DM$%, то $%1:4$% )

(19 Окт '13 2:02) ЛисаА

Почему не пересекает? Давайте чуть повернём вокруг точки $%K$% прямую $%AC$%, чтобы точка $%C$% сместилась в сторону точки $%F$%. Тогда пересечение с гипотенузой будет в точке $%D$%, расположенной близко к вершине $%A$%.

(19 Окт '13 2:02) falcao

а можно рисунок пожалуйста

(19 Окт '13 2:16) parol

@parol: к сожалению, я не умею делать рисунки. Тут на форуме многие умеют, и даже красиво, а я как-то не научился до сих пор. Но это совсем не трудно изобразить на бумаге. Я даже бы вот как сделал. Нарисуйте прямую, параллельную $%BC$%, проходящую через середину $%AC$%. Она прямую $%BC$% нигде не пересекает. А теперь наклоните мысленно её в ту и в другую сторону. Ясно, что в одном случае будет пересечение за точкой $%B$%, а в другом -- за точкой $%C$%.

(19 Окт '13 2:24) falcao

..это снова я.. @falcao, а можно я нарисую ? =) т.е. рисунки у меня "почти" были еще вчера ( лень было их доделывать)), и хочется "внаглую" вывести еще вариант решения - то, что я пыталась сделать, только не увидела, что можно использовать подобие треугольников.. ( можно сделать даже почти "не считая" - но используя это подобие.. может, и увидела бы (когда-нибудь=)) - но быстрее просто прочитала об этом в чужом решении )

(19 Окт '13 14:32) ЛисаА

@ЛисаА: конечно, можно добавить и рисунок для наглядности, и изложить другое решение. Я писал почти "с листа", то есть не "шлифовал" своё рассуждение, так что там наверняка есть какие-то более короткие пути.

(19 Окт '13 14:43) falcao

@falcao, у Вас там понятное, хорошее решение.. то, что я пыталась сделать - наверное, "сложнее" ( ну, точно не короче ) - но там просто считать не надо =)) и это все равно с Вашей же идеей про подобные треугольники.. (я вчера не нашла это расстояние $%DH$% - и отношение $%1:3$%) Сейчас напишу..

(19 Окт '13 14:48) ЛисаА
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
4

Рисунки к решениию @falcao ( выше ) - и к "вариации на тему".. =)
alt text Можно еще так.. Например, в 1-ом случае ( когда $%KD$% пересекается с продолжением катета за точку $%B$%): через точку $%C$% проводим $%CL || FD$% до пересечения с продолжением гипотенузы ( точка пересечения - т.$%L$% ). Так как $%CK = KA$%, то и $%DL = AD = 2$%, и $%KD$% - средняя линия в треуг-ке $%CAL$%, т.е. если $%KD = t$%, то $%CL = 2t$%. { дальше я остановилась - не понимала, как доказать, что $%DF$% тоже равно $%2t$% - чтобы сказать, что $%CDFL$% - параллелограмм.. поэтому списано у @falcao =)} $%DH$% - перпендикуляр к $%AC$%, и $%DH = 1$% как катет против $%30$%, и треуг $%KHD$% подобен треуг-ку $%KCF$%, т.е. $%\frac{KF}{KD} = \frac{CF}{HD} = \frac{3}{1}$%, т.е. $%KF = 3t$%, и $%DF = 2t$%. Т.е. в 4-угольнике $%CDFL$% стороны $%LC$% и $%FD$% - параллельны и равны, значит, $%CDFL$% - параллелограмм, и диагонали в точке пересечения делятся пополам: $%DB = \frac{1}{2}DL = 1$% ( и вся гипотенуза $% = 3$%)
И 2-ой случай выглядит: alt text Или: alt text ( и вариант для 2-ого случая: тоже проводим $%CL||FD$% - до пересечения с гипотенузой в точке $%L$%; $%LD = AD = 2$%, и если $%KD = t$%, то $%CL = 2t$%, а из подобия треуг-ков $%KHD$% и $%KCF$% знаем, что $%KF = 3KD$%, т.е. $%FD = 4t$%, т.е. $%CL$% - средняя линия в треугольнике $%CLB$%, и $%LB = 2$% ( а вся гипотенуза $%6$% )

ссылка

отвечен 19 Окт '13 15:11

изменен 19 Окт '13 15:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,325

задан
19 Окт '13 0:41

показан
1063 раза

обновлен
19 Окт '13 15:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru