|
Подскажите с чего начать Через середину катета AC прямоугольного треугольника ABC угол C=90. проведена прямая пересекающая гипотенузу в точке D и продолжение катета BC в точке F. Известно что AD=2 CF=3 и угол ABC=60. Найти гипотенузу(Два случая) задан 19 Окт '13 0:41 
parol |
|
Середину катета $%AC$% обозначим через $%K$%. Случай 1: $%F$% расположена на продолжении луча $%BC$% за точку $%C$%. Проведём через $%A$% прямую, параллельную $%BC$%, и пусть $%FD$% пересекает её в точке $%M$%. Треугольники $%KFC$% и $%KMA$% центрально симметричны, откуда $%AM=CF=3$%. Угол $%DAM$% известен, и по теореме косинусов можно найти $%DM$%. Расстояние от точки $%D$% до прямой $%AC$% равно $%1$%, и из подобия треугольников получается, что $%KD:DM=1:2$%. Это позволяет найти $%KD$% и $%KM=FK$%. По теореме Пифагора находим $%CK$%, и нам становится известен один катет. Зная угол $%ABC$%, находим гипотенузу. Случай 2: $%F$% расположена на продолжении луча $%CB$% за точку $%B$%. Пусть $%H$% -- основание перпендикуляра, опущенного из $%D$% на $%AC$%. Расстояние $%DH$% и здесь равно $%1$%. Треугольник $%KDH$% подобен $%KFC$% с известным коэффициентом $%HD:CF=1:3$%. Если $%x=KH$%, то $%CH=2x$%, $%AK=CK=3x$%. Длину $%AH=4x$% мы знаем из треугольника $%ADH$%, про который нам всё известно. Из этого находим $%x$% и всё остальное. Ответы в обоих случаях получаются "хорошие". Сейчас заметил, что в Случае 1 можно применить ту же идею, что и в Случае 2, и получится попроще. отвечен 19 Окт '13 1:34 
falcao не понятно а если F расположена за точку С то она же не пересекает гипотенузу
(19 Окт '13 1:56)
parol
@parol, конечно, там тоже есть пересечение ( только точка $%D$% будет лежать "выше" ( ближе к точке $%A$% ))
(19 Окт '13 2:02)
ЛисаА
Почему не пересекает? Давайте чуть повернём вокруг точки $%K$% прямую $%AC$%, чтобы точка $%C$% сместилась в сторону точки $%F$%. Тогда пересечение с гипотенузой будет в точке $%D$%, расположенной близко к вершине $%A$%.
(19 Окт '13 2:02)
falcao
а можно рисунок пожалуйста
(19 Окт '13 2:16)
parol
@parol: к сожалению, я не умею делать рисунки. Тут на форуме многие умеют, и даже красиво, а я как-то не научился до сих пор. Но это совсем не трудно изобразить на бумаге. Я даже бы вот как сделал. Нарисуйте прямую, параллельную $%BC$%, проходящую через середину $%AC$%. Она прямую $%BC$% нигде не пересекает. А теперь наклоните мысленно её в ту и в другую сторону. Ясно, что в одном случае будет пересечение за точкой $%B$%, а в другом -- за точкой $%C$%.
(19 Окт '13 2:24)
falcao
..это снова я.. @falcao, а можно я нарисую ? =) т.е. рисунки у меня "почти" были еще вчера ( лень было их доделывать)), и хочется "внаглую" вывести еще вариант решения - то, что я пыталась сделать, только не увидела, что можно использовать подобие треугольников.. ( можно сделать даже почти "не считая" - но используя это подобие.. может, и увидела бы (когда-нибудь=)) - но быстрее просто прочитала об этом в чужом решении )
(19 Окт '13 14:32)
ЛисаА
@ЛисаА: конечно, можно добавить и рисунок для наглядности, и изложить другое решение. Я писал почти "с листа", то есть не "шлифовал" своё рассуждение, так что там наверняка есть какие-то более короткие пути.
(19 Окт '13 14:43)
falcao
@falcao, у Вас там понятное, хорошее решение.. то, что я пыталась сделать - наверное, "сложнее" ( ну, точно не короче ) - но там просто считать не надо =)) и это все равно с Вашей же идеей про подобные треугольники.. (я вчера не нашла это расстояние $%DH$% - и отношение $%1:3$%) Сейчас напишу..
(19 Окт '13 14:48)
ЛисаА
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Рисунки к решениию @falcao ( выше ) - и к "вариации на тему".. =) отвечен 19 Окт '13 15:11 
ЛисаА |
Можно еще так.. Например, в 1-ом случае ( когда $%KD$% пересекается с продолжением катета за точку $%B$%): через точку $%C$% проводим $%CL || FD$% до пересечения с продолжением гипотенузы ( точка пересечения - т.$%L$% ). Так как $%CK = KA$%, то и $%DL = AD = 2$%, и $%KD$% - средняя линия в треуг-ке $%CAL$%, т.е. если $%KD = t$%, то $%CL = 2t$%. { дальше я остановилась - не понимала, как доказать, что $%DF$% тоже равно $%2t$% - чтобы сказать, что $%CDFL$% - параллелограмм.. поэтому списано у 
Или: 
( и вариант для 2-ого случая: тоже проводим $%CL||FD$% - до пересечения с гипотенузой в точке $%L$%; $%LD = AD = 2$%, и если $%KD = t$%, то $%CL = 2t$%, а из подобия треуг-ков $%KHD$% и $%KCF$% знаем, что $%KF = 3KD$%, т.е. $%FD = 4t$%, т.е. $%CL$% - средняя линия в треугольнике $%CLB$%, и $%LB = 2$% ( а вся гипотенуза $%6$% )
А что сделать-то надо ? =) что искать ?
У Вас тут не сказано, что нужно найти. Правильно ли я понимаю, что в условии не сказано, за какую точку продолжается катет?
найти гипотенузу