Математика

У меня получилось 9 синих точек в качестве минимального количества. Расположений можно указать много (чуть ниже будет пример).

Прежде всего, отрезков с концами в красных точках всего 10, поэтому синих точек не более 10. Чтобы получить меньше, нужно обеспечить совпадение середин каких-то отрезков. Ясно, что общего конца у них нет, то есть это какие-то отрезки $%AC$% и $%BD$% с совпадающей серединой $%O$%. А это означает наличие параллелограмма $%ABCD$%.

Если один такой параллелограмм нарисовать, то синих точек получается 5 вместо шести. Добавляя точку $%E$% "общего положения" и соединяя её с каждой из точек $%A$%, $%B$%, $%C$%, $%D$%, получаем ещё 4 синие точки, и всего их становится 9.

Почему нельзя меньше? Прежде всего, точка $%O$% не может быть серединой третьего отрезка: красных точек тогда было бы как минимум 6. Значит, должен быть ещё параллелограмм. От старого параллелограмма в него войдут три точки -- скажем, $%A$%, $%B$%, $%C$%. И если при этом $%ACBE$% или $%ACEB$% будет параллелограммом (других случаев нет), то из рисунка легко увидеть, что три красных точки $%A,D,E$% или $%C,D,E$% оказываются на одной прямой, что запрещено условием.