логарифмы - Что больше

Один из подходов мог бы быть таким: рассмотреть функцию $$f(x)=\log_x(x+1)=\frac{\ln(x+1)}{\ln x},$$ определённую при $%x > 1$%, и исследовать её при помощи производной на возрастание/убывание. Метод достаточно стандартный, и он ведёт к нужному ответу, но при этом придётся второй раз дифференцировать. Кроме того, предпочтительнее использовать средства элементарной математики. Поэтому я изложу другой способ.

Можно положить $%n=12$%, сравнивая числа $%\log_{n-1}n$% и $%\log_n(n+1)$%. Первое число, по свойствам логарифмов, равно $%\frac1{\log_n(n-1)}$%. Легко также заметить, что каждое из исследуемых чисел близко к единице, поэтому полезно выделить эту единицу в качестве слагаемого. В итоге оказывается, что первое число равно $%\frac1{1+\log_n(1-1/n)},$% а второе равно $%1+\log_n(1+1/n)$%. Логарифмы у нас теперь оба по основанию $%n$%, и мы выделили "главное" слагаемое в каждом случае; оставшиеся слагаемые близки к нулю.

Итак, нам надо сравнить числа вида $%1/a$% и $%b$%, где $%a,b > 0$%. Оба числа можно домножить на $%a$%, и задача сведётся к сравнению чисел $%1$% и $%ab$% с тем же знаком у неравенства. Поэтому нам надо перемножить два числа и сравнить результат с единицей: $$(1+\log_n(1-1/n))\cdot(1+\log_n(1+1/n)).$$ В результате раскрытия скобок получится $$1+\log_n(1-1/n)+\log_n(1+1/n)+uv=1+\log_n(1-1/n^2)+uv,$$ где через $%uv$% я для краткости обозначил произведение логарифмов. Здесь $%u=\log_n(1-1/n) < 0$%; $%v=\log_n(1+1/n) > 0$%. Отсюда ясно, что $%uv < 0$%, и слагаемое после единицы тоже отрицательно. Это значит, что после перемножения мы получили число, меньшее единицы, то есть (в предыдущих обозначениях) $%\frac1a-b=\frac{1-ab}b > 0$%. Таким образом, первое из сравниваемых чисел больше второго.