теория-вероятностей - Тервер. Задача о дискретном случае

По ссылке там и в самом деле не совсем то.

Здесь на самом деле всё просто. (это была у меня самая первая идея, но потом я её почему-то забраковал.)

Пусть x, y -- элементарные события. Скажем, что они разделены событием A (из F), если один из элементов принадлежит A, а другой не принадлежит. Положим x~y, если x и y никаким событием и F не разделены.

Ясно, что ~ рефлексивно и симметрично. Проверим транзитивность. Пусть x~y, y~z. Допустим, что x и z разделены, то есть имеется событие A из F, для которого x принадлежит A, но z не принадлежит. Тогда, если y \in A, то y и z разделены, а если y не принадлежит A, то x и y разделены.

Теперь ясно, что Omega разбивается на классы эквивалентности, и множество последних не более чем счётно. Это и будут классы H(i). Любое событие из F или содержит целиком каждый из классов, или не пересекается с ним.

Выберем в каждом H(i) фиксированный элемент h(i). Для упорядоченной пары (i,j) из различных индексов найдём множество A(i,j) из- F, которое содержит h(i) и не содержит h(j). При фиксированном i рассмотрим пересечение A(i,j) по всем j не равным i. Оно не более чем счётно, поэтому принадлежит F. Ясно, что оно содержит весь H(i), но не содержит элементов из других классов H(j). Поэтому оно совпадает с H(i), откуда последнее принадлежит F.

Таким образом, H(i) суть атомы F, и F есть множество всевозможных объединений таких классов, что и требовалось доказать.