Описание игры:
Двое скидываются на пальцах. Можно выкинуть одну из семи фигур: камень, ножницы, бумага, карандаш, огонь, вода или бутылка лимонада. При это фигуры бьют друг друга по циклу, т.е. камент побеждает ножницы, ножницы - бумагу, бумага - карандаш, ..., бутылка лимонада - камень. Все остальные расклады играют вничью.
Вопрос:

  1. есть ли в этой игре смешанные равновесия?
  2. Опишите все смешанные равновесия.

Для начала решил выписать матрицу это биматричной игры. Получилось следующее: \begin{bmatrix}0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 \\ -1;1 & 0;0 &1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\ 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\ 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 \\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 \\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 \\ 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0\end{bmatrix} Посмотрев на матрицу решил, что в чистых стратегиях равновесия нет. Так ли это в действительности?

Что касается смешанных стратегий, то тут решил подойти к решению как во всех учебниках, т.е. дописать вектор вероятностей (a, b, c, d, e, f, g) с условием, что сумма координат равна 1 и выписать выигрыш второго игрока. В итоге все свелось к тому, необходимое распределение описывает следующее уравнение:
a + b + c + d + e + f + g = 1
Я вот не пойму правильно ли я сделал и что делать дальше


UPD Еще рассматривается такой вопрос: что, если фигур не 7, а 6(без бутылки лимонада), причем они также бьют друг друга по циклу
Я считаю, что ничего от этого не изменится. Матрица игры останется "похожей" на ту, где играют 7 фигур. Прав ли я?

задан 20 Окт '13 2:07

изменен 20 Окт '13 18:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

Игра антагонистическая (достаточно задать матрицу выигрыша 1-го игрока). В чистых стратегиях решения нет. Равновесная ситуация в смешанных стратегиях соответствует равновероятному выбору игроками чистых стратегий. Это вытекает из инвариантности функции выигрыша и множества допустимых (смешанных) стратегий относительно группы перестановок столбцов и строк матрицы. Значение игры равно 0.

Дополнение в связи с вопросом @Stas0n.

Инвариантность функции выигрыша относительно группы перестановок столбцов и строк понимается в смысле: $$ (1) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \forall g_A \in G_A \exists g_B \in G_B: v(g_As_A, g_Bs_B)= v(s_A, s_B), $$ $$ (2) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \forall g_B \in G_B \exists g_A \in G_A: v(g_As_A, g_Bs_B)= v(s_A, s_B), $$ где: $% G_A, G_B $% – группы преобразований, действующих на элементы $% s_A \in S_A, s_B \in S_B $% множеств $% S_A, S_B $% допустимых стратегий , $% v(s_A, s_B) $% – функция выигрыша первого (проигрыша второго) игрока в ситуации $% (s_A, s_B). $%

Пусть на множестве ситуаций $% S =S_A \times S_B $% заданы две вероятностные меры $% m_1(ds_A \times ds_B)= m_A^0(ds_A) m_B(ds_B), m_2 (ds_A \times ds_B)= m_A (ds_A) m_B^0 (ds_B), $% где $% m_A(), m_B() $% – произвольные меры на $% S_A, S_B, $% а $% m_A^0(), m_B^0 () $% – инвариантные меры на этих множествах. Тогда при выполнении условий (1), (2) $$ E_{m_1} [v(s_A, s_B)]= E_{m_2} [v(s_A, s_B)]. $$ Как видно, такие свойства игры $% Г=(S_A,S_B,V) $% позволяют ее редуцировать в игру $% Г’=(S_A/G_A,S_B/G_B,V), $% где $% S_A/ G_A,S_B/ G_B $% – соответствующие фактор-множества (здесь некоторые вольности в обозначениях требуют небольшого домысливания). В рассматриваемой задаче редукция игры привела к ее вырождению и полному решению задачи.

В принципе обоснований решения не требовалось – достаточно было проверить равновесность указанной ситуации.

Дополнение в связи с идеями @Stas0n по второй задаче.

Во второй игре имеем следующие множества оптимальных смешанных стратегий игроков $% P= \{ p/3,(1-p)/3, p/3,(1-p)/3, p/3,(1-p)/3 \}, Q= \{ q/3.(1-q)/3, q/3.(1-q)/3, q/3.(1-q)/3 \} $% при любых $% p,q \in [0,1]. $% Выписывать одну, тем более ассиметричную, ситуацию в симметричной игре не вполне обосновано.

ссылка

отвечен 20 Окт '13 11:15

изменен 20 Окт '13 22:44

Согласен с тем, что чистых равновесий тут нет. Их пытался найти как седловую точку (максимум по столбцу является минимумом по строке).
А вот что касательно смешанных стратегий, то все еще остались непонятки: что Вы подразумеваете под инвариантностью функции выигрыша?

(20 Окт '13 14:43) Stas0n
10|600 символов нужно символов осталось
0

Собственно порывшись немного в литературе решил эту задачу.
Для начала находим нижнюю и верхнюю цены игры. Так уж сложилось, что максимальное число по столбцам (по всем) будет = 1. Минимальное по строкам (по всех) = -1. Получается, что верхняя цена игры и нижняя не совпадают, то седловой точки нет, т.е. нет равновесия. Кроме того, понимаем, что цена игры -1 <= y <= 1
Доминирующих стратегия ни по столбцам ни по строкам нет. В конечном итоге приходим к выводу, что равновесия в чистых стратегиях нет.
Теперь рассмотрим смешанные стратегии. Запишем систему уравнений для игрока I:
-p2+p7 = y
p1-p3 = y
p2-p4 = y
p3-p5 = y
p4-p6 = y
p5-p7 = y
-p1+p6 = y
p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7 = 1
Для игрока II
q2-q7 = y
-q1+q3 = y
-q2+q4 = y
-q3+q5 = y
-q4+q6 = y
-q5+q7 = y
q1-q6 = y
q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7 = 1
Решая эти системы находим смешанные стратегии игроков:
Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7)
Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7)
Цена игры = 0


Теперь что касается случая, если участвую не 7, а 6 фигур (без бутылки), но они также бьют друг друга по циклу. Матрицы игры здесь будет иметь вид:
\begin{bmatrix}0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 \\ -1;1 & 0;0 &1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\ 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 \\ 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 \\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 \\ 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 \end{bmatrix} Ситуация похожая: нет равновесия в чистых стратегиях. Цена игры опять колеблется в пределах от -1 до 1. Доминируемых стратегий нет. Однако, после рассмотрения смешанных стратегий и нахождения оптимальных смешанных стратегий игроков получаем следующий результат:
Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (1/3; 0; 1/3; 0; 1/3; 0)
Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (0; 1/3; 0; 1/3; 0; 1/3)
Цена игры = 0.

ссылка

отвечен 20 Окт '13 18:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×54

задан
20 Окт '13 2:07

показан
1717 раз

обновлен
20 Окт '13 22:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru