|
Описание игры:
Для начала решил выписать матрицу это биматричной игры. Получилось следующее:
\begin{bmatrix}0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 \\ -1;1 & 0;0 &1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\ 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\ 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 \\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 \\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 \\ 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0\end{bmatrix}
Посмотрев на матрицу решил, что в чистых стратегиях равновесия нет. Так ли это в действительности? Что касается смешанных стратегий, то тут решил подойти к решению как во всех учебниках, т.е. дописать вектор вероятностей (a, b, c, d, e, f, g) с условием, что сумма координат равна 1 и выписать выигрыш второго игрока. В итоге все свелось к тому, необходимое распределение описывает следующее уравнение: UPD
Еще рассматривается такой вопрос: что, если фигур не 7, а 6(без бутылки лимонада), причем они также бьют друг друга по циклу задан 20 Окт '13 2:07 
Stas0n |
|
Игра антагонистическая (достаточно задать матрицу выигрыша 1-го игрока). В чистых стратегиях решения нет. Равновесная ситуация в смешанных стратегиях соответствует равновероятному выбору игроками чистых стратегий. Это вытекает из инвариантности функции выигрыша и множества допустимых (смешанных) стратегий относительно группы перестановок столбцов и строк матрицы. Значение игры равно 0. Дополнение в связи с вопросом @Stas0n. Инвариантность функции выигрыша относительно группы перестановок столбцов и строк понимается в смысле: $$ (1) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \forall g_A \in G_A \exists g_B \in G_B: v(g_As_A, g_Bs_B)= v(s_A, s_B), $$ $$ (2) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \forall g_B \in G_B \exists g_A \in G_A: v(g_As_A, g_Bs_B)= v(s_A, s_B), $$ где: $% G_A, G_B $% – группы преобразований, действующих на элементы $% s_A \in S_A, s_B \in S_B $% множеств $% S_A, S_B $% допустимых стратегий , $% v(s_A, s_B) $% – функция выигрыша первого (проигрыша второго) игрока в ситуации $% (s_A, s_B). $% Пусть на множестве ситуаций $% S =S_A \times S_B $% заданы две вероятностные меры $% m_1(ds_A \times ds_B)= m_A^0(ds_A) m_B(ds_B), m_2 (ds_A \times ds_B)= m_A (ds_A) m_B^0 (ds_B), $% где $% m_A(), m_B() $% – произвольные меры на $% S_A, S_B, $% а $% m_A^0(), m_B^0 () $% – инвариантные меры на этих множествах. Тогда при выполнении условий (1), (2) $$ E_{m_1} [v(s_A, s_B)]= E_{m_2} [v(s_A, s_B)]. $$ Как видно, такие свойства игры $% Г=(S_A,S_B,V) $% позволяют ее редуцировать в игру $% Г’=(S_A/G_A,S_B/G_B,V), $% где $% S_A/ G_A,S_B/ G_B $% – соответствующие фактор-множества (здесь некоторые вольности в обозначениях требуют небольшого домысливания). В рассматриваемой задаче редукция игры привела к ее вырождению и полному решению задачи. В принципе обоснований решения не требовалось – достаточно было проверить равновесность указанной ситуации. Дополнение в связи с идеями @Stas0n по второй задаче. Во второй игре имеем следующие множества оптимальных смешанных стратегий игроков $% P= \{ p/3,(1-p)/3, p/3,(1-p)/3, p/3,(1-p)/3 \}, Q= \{ q/3.(1-q)/3, q/3.(1-q)/3, q/3.(1-q)/3 \} $% при любых $% p,q \in [0,1]. $% Выписывать одну, тем более ассиметричную, ситуацию в симметричной игре не вполне обосновано. отвечен 20 Окт '13 11:15 
Urt Согласен с тем, что чистых равновесий тут нет. Их пытался найти как седловую точку (максимум по столбцу является минимумом по строке).
(20 Окт '13 14:43)
Stas0n
|
|
Собственно порывшись немного в литературе решил эту задачу. Теперь что касается случая, если участвую не 7, а 6 фигур (без бутылки), но они также бьют друг друга по циклу. Матрицы игры здесь будет иметь вид: отвечен 20 Окт '13 18:55
Stas0n |