Как найти минимум у функции: $%f(x) = (1 - x_1)^2 + \alpha \sum\limits_{i = 2}\limits^{n} (x_i - x_{i - 1}^2)^2$%, где $%\alpha > 0$%?

задан 7 Окт 1:45

изменен 7 Окт 16:55

Что значит свободный индекс i в первом слагаемом? Если подразумевалась вектор-функция, то у неё никаких минимумов быть не может в принципе. Если там должна быть сумма, то решение стандартно, через частные производные. Получатся набор (даже не система) уравнений, которые легко решаются.

(7 Окт 4:45) caterpillar

@caterpillar Прошу прощения, на самом деле там не $%i$%, а просто 1, уже поправил

(7 Окт 15:39) KappaGolden

Ну, у меня как то не получилость придти к набору уравнений, получается какя-то странная рекурента, по на подобии $%x_i = x_{i - 1}$%

(7 Окт 15:41) KappaGolden
1

Так теперь решений вообще нет. Возьмите все координаты, кроме последней, нулевыми, а последнюю устремите к минус бесконечности.

(7 Окт 15:50) caterpillar

Еще квадрат в разности пропустил... Ну да без него какая-то бессмыслица получается... Сейчас попрвил.

(7 Окт 16:58) KappaGolden

Тогда всё решается нормально. Распишите сумму, посчитайте частные производные и, стартуя с конца, постепенно соседние неизвестные выразятся друг через друга, пока не дойдёте до x1=1 и далее найдёте все остальные значения, тоже равные 1. Поскольку функция неотрицательна, то очевиден глобальный минимум.

Но вообще, до единичного решения можно догадаться и без производных при такой постановке вопроса.

(7 Окт 17:18) caterpillar

@caterpillar, можете пояснить почему из неотрицательности следует глобальный минимум?

(10 Окт 16:52) KappaGolden
1

@KappaGolden: в данном случае вообще ничего не надо обосновывать. Раз тут везде квадраты, значения функции неотрицательны. Но при x1=...=xn=1 мы имеем значение 0. Оно является наименьшим.

(10 Окт 17:02) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×700
×126

задан
7 Окт 1:45

показан
98 раз

обновлен
10 Окт 17:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru