Проверьте, пожалуйста, функцию y=(2+x)e^-x 1) D(f): ( - беск; + беск) 2) E(f): не знаю 3) непрерывна (-беск; +беск) 4) (2+x)e^-x =0 (2+x)=0 x=-2 e^-x =0 x=0 отриц ( -беск;-2) полож (-2;0)U (0; +беск) 5) f(-x) = (2+(-x))e^-(-x) = (2-x)e^x ни чётная, ни нечётная, непериодическая 6) производная: = e^-x + (2+x)*e^-x возрастание, убывание, min и max - не пойму как найти 7) вертикальная асимптота

задан 20 Окт '13 12:07

изменен 20 Окт '13 19:55

Почему область определения такая? Разве функция $%y=(2+x)e^{-x}$% не определена в нуле? Здесь ведь на ноль делить не приходится, и $%y(0)=2$%. Остальное пока не смотрел. Замечу только, что $%e^{-x}$% всегда положительно и в ноль нигде не обращается (см. свойства показательной функции).

(20 Окт '13 12:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

График функции $%y=(2+x)e^{-x}$% в помощь.

alt text

1)Область определения $%(-\infty;=\infty).$% Почему? Т.к. выражение $%(2+x)e^{-x}$% имеет смысл при любом действительном $%x.$%

2) Функция не является периодической, т.к. уравнение $%y=0\Leftrightarrow (2+x)e^{-x}=0\Leftrightarrow x=-2$% имеет конечное число решений (одно).

3)$%(y(-2)=0;y(2)=\frac{4}{e^2})\Rightarrow|y(-2)|\ne|y(2)|$% - функция ни четная ни нечетная.

4) Функция имеет производную $%y{'}=\Big((2+x)e^{-x}\Big)^{'}=e^{-x}-(2+x)e^{-x}$% на всей числовой оси, значит на этой числовой оси она непрерывна. Вот здесь Вам нужно повторить правила нахождения производных.

5) Далее найдите нули производной (стационарные точки). 6) Определите промежутки знакопостоянства производной (это позволит Вам узнать промежутки монотонности функции, экстремумы функции).

7) При $%x<-2,y<0$%; при $%x>-2,y>0$%. Это дает Вам возможность указать промежутки знакопостоянства функции.

8) $%\lim_{x\rightarrow+\infty}=0.$% Прямая $%y=0$% является горизонтальной асимптотой.

9) Для выяснения формы графика и нахождения точек перегиба, используйте вторую производную.

Что касается нахождения области значения функции, то этот процесс не всегда простой. Но в этом случае все просто: функция имеет глобальный максимум в точке $%-1;y(-1)=e.$% Кроме того, функция не ограничена снизу ($%\lim_{x\rightarrow-\infty}=-\infty).$% Из этого несложно сделать вывод по области значений функции.

ссылка

отвечен 20 Окт '13 20:14

изменен 21 Окт '13 16:15

Как Вы это интересно получили? По пункту 5 все наоборот. По области значений функции: посмотрите границы , в которых может находиться вторая координата точки графика функции.

(21 Окт '13 17:16) Anatoliy

@Lana56: производная функции равна $%-e^x(1+x)$%, см. пункт 4 решения. Поэтому на $%(-1;+\infty)$% производная отрицательна, и функция убывает. На $%(-\infty;-1)$% -- возрастает. То есть $%x=-1$% -- точка (локального) максимума.

(21 Окт '13 18:33) falcao

@Lana56: в прошлом комментарии я допустил опечатку -- производная там равна $%-e^{-x}(1+x)$% (опущен минус в показателе). Но все выводы, сделанные там, остаются верными, так как роль играет только положительность экспоненты. Найденное Вами значение второй производной $%xe^{-x}$% правильное.

(21 Окт '13 21:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×123

задан
20 Окт '13 12:07

показан
1439 раз

обновлен
21 Окт '13 21:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru