функция - Исследовать функцию

График функции $%y=(2+x)e^{-x}$% в помощь.

1)Область определения $%(-\infty;=\infty).$% Почему? Т.к. выражение $%(2+x)e^{-x}$% имеет смысл при любом действительном $%x.$%

2) Функция не является периодической, т.к. уравнение $%y=0\Leftrightarrow (2+x)e^{-x}=0\Leftrightarrow x=-2$% имеет конечное число решений (одно).

3)$%(y(-2)=0;y(2)=\frac{4}{e^2})\Rightarrow|y(-2)|\ne|y(2)|$% - функция ни четная ни нечетная.

4) Функция имеет производную $%y{'}=\Big((2+x)e^{-x}\Big)^{'}=e^{-x}-(2+x)e^{-x}$% на всей числовой оси, значит на этой числовой оси она непрерывна. Вот здесь Вам нужно повторить правила нахождения производных.

5) Далее найдите нули производной (стационарные точки). 6) Определите промежутки знакопостоянства производной (это позволит Вам узнать промежутки монотонности функции, экстремумы функции).

7) При $%x<-2,y<0$%; при $%x>-2,y>0$%. Это дает Вам возможность указать промежутки знакопостоянства функции.

8) $%\lim_{x\rightarrow+\infty}=0.$% Прямая $%y=0$% является горизонтальной асимптотой.

9) Для выяснения формы графика и нахождения точек перегиба, используйте вторую производную.

Что касается нахождения области значения функции, то этот процесс не всегда простой. Но в этом случае все просто: функция имеет глобальный максимум в точке $%-1;y(-1)=e.$% Кроме того, функция не ограничена снизу ($%\lim_{x\rightarrow-\infty}=-\infty).$% Из этого несложно сделать вывод по области значений функции.