|
Найти наибольшее значение с при котором система уравнений $$(x+c\sqrt{3})^2+y^2+6y+8=0 \\\ \sqrt{3}|x|+y=6$$ имеет единственное решение. Это система!! задан 20 Окт '13 17:15 
Amalia |
|
$$\begin{cases}(x+c\sqrt{3})^2+y^2+6y+8=0, \\\ \sqrt{3}|x|+y=6,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x+c\sqrt{3})^2+(y+3)^2=1 \\\ \sqrt{3}|x|+y=6.\end{cases}$$ График первого уравнения - окружность с центром $%(-c\sqrt{3};-3)$% и радиусом $%1$%. График второго уравнения легко строится. Пусть $%x\ge0$%, тогда второе уравнение принимает вид $%\sqrt{3}x+y=6.$% Условие единственности решения в этом случае $%\frac{|\sqrt{3}\cdot(-c\sqrt{3})-3-6|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}=1\Leftrightarrow[c=-\frac{11}{3};c=-\frac{7}{3}].$% Учитывая симметрию графика второго уравнения относительно оси $%Oy,$% получаем еще два значения для $%c:\quad[c=\frac{11}{3};c=\frac{7}{3}]. $%
отвечен 20 Окт '13 18:10 
Anatoliy |
|
Здесь уместно применить графический подход. Первое уравнение, переписанное в виде $%(x+c\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$%, задаёт окружность с центром $%(-c\sqrt3;-3)$% радиуса $%1$%. Её расположение нам пока не известно, но мы знаем, что её нужно разместить как можно левее, чтобы максимизировать $%c$%. Для второго уравнения нарисуем её график $%y=6-\sqrt3|x|$%. Можно начать с известного графика функции $%|x|$%, затем перейти к $%\sqrt3|x|$% -- при этом "рожки" графика сближаются. Далее осуществляется отражение относительно оси абсцисс, после чего "рожки" смотрят вниз. Наконец, график поднимается вдоль оси ординат на $%6$% единиц вверх. Он состоит из двух лучей. Легко заметить, что в нашем случае окружность должна касаться левого луча, то есть её центр должен находиться на расстоянии $%1$% слева от этого луча. Пусть $%B$% -- точка пересечения левого луча графика, имеющего уравнение $%y=\sqrt3x+6$%, с прямой $%y=-3$%. Легко видеть, что $%B(-3\sqrt3;-3)$%. Отметим также точку $%A(0;6)$% -- вершину графика, а из центра $%P(-c\sqrt3;-3)$% окружности опустим перпендикуляр с основанием $%C$% на луч $%AB$%. Понятно, что расстояние $%PC$% равно $%1$%. Абсциссу точки $%B$% мы знаем, поэтому достаточно найти расстояние $%PB$%. Это можно сделать из прямоугольного треугольника $%PBC$%. В нём угол $%PBC$% равен $%60$% градусам, так как угловой коэффициент графика функции $%y=\sqrt3x+6$% равен тангенсу этого угла. Значит, гипотенуза $%PB$% равна $%2/\sqrt3$%. Абсцисса точки $%P$% получается вычитанием этого значения из абсциссы точки $%B$%, откуда $%-c\sqrt{3}=-3\sqrt3-2/\sqrt3$%, то есть $%c=11/3$%. отвечен 20 Окт '13 17:58 
falcao |
