В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной в точке S стороны основания равны 12, а боковые ребра 24. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью проходящей через точку D и середину ребра SB параллельно прямой AC.

задан 20 Окт '13 18:22

изменен 21 Окт '13 20:23

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

$%MPND - $%искомое сечение (т. $%P-$% середина ребра $%SB$%; $%MN||AC$%; $%MN \bot PD$%). Далее нужно найти диагонали сечения, используя подобие треугольников, а затем и площадь сечения.

ссылка

отвечен 20 Окт '13 18:52

изменен 20 Окт '13 18:53

Хорошо. На Вашем "рисунке" изображено то, что есть и у меня? Кроме того, на вашем рисунке есть "длинная" параллельная прямая, проходящая через точку $%D$%, линии продолжения сторон и т.д. Кроме того,оказывается, есть еще выносной рисунок. Счет не в Вашу пользу:).

(21 Окт '13 17:43) Anatoliy

@Anatoliy: на моём бумажном рисунке присутствуют только прямая, параллельная $%AC$%, продолжения сторон $%BC$% и $%AB$% (их я считаю за линии), а также четыре прямые, соответствующие сторонам. Больше ничего там нет. "Выносные" чертежи есть: один для $%DK$% (ещё одна линия), и другой для треугольника $%SBE$%. На котором указаны только линии, которые были ранее. Я всегда делаю отдельные фрагменты чертежей, чтобы в пределах одного рисунка было мало линий, и легче было ориентироваться. Если считать все линии "с повторениями", то у меня их больше, но они рассматриваются по отдельности.

(21 Окт '13 17:59) falcao

@Anatoliy: я обратил внимание вот на какое преимущество Вашего решения. Для нахождения длины диагонали $%MN$% надо знать её отношение к диагонали основания. И если я рисовал в связи с этим дополнительный чертёж, то у Вас он не требуется ввиду того, что $%SO$% и $%DP$% -- медианы треугольника $%SDB$%.

(23 Окт '13 7:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Сначала построим сечение. Проведём через $%D$% прямую, параллельную $%AC$%. Она пересекает продолжения сторон $%AB$% и $%BC$% в точках $%E$% и $%F$% соответственно. Легко видеть, что $%EA=AB$%, $%FC=CB$%. Далее в плоскости $%SAB$% соединим точку $%E$% с серединой $%K$% отрезка $%SB$%. Обозначим через $%M$% точку пересечения прямых $%EK$% и $%SA$%. Аналогично, в плоскости $%SBC$% проведём прямую $%FK$%, пересекающую ребро $%SC$% в точке $%N$%. Сечение представляет собой четырёхугольник $%DMKN$%; его можно нарисовать.

Из соображений симметрии понятно, что диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Поэтому площадь можно найти как половину произведения диагоналей. То есть всё сводится к нахождению $%DK$% и $%MN$%.

Для нахождения $%DK$% рекомендуется сделать отдельный чертёж треугольника $%SDB$%. В нём требуется найти длину медианы $%DK$%. Это можно сделать по общей формуле, но можно обойтись и без неё. Тогда процедура такова: опускаем перпендикуляры из $%S$% и $%K$% на основание $%DB$% равнобедренного треугольника $%SDB$%. Высоту находим по теореме Пифагора. Длина второго перпендикуляра (пусть это будет $%KL$%) в два раза меньше. Нетрудно заметить, что $%L$% расположена посередине между точкой $%B$% и серединой отрезка $%BD$%. Следовательно, $%DL$% составляет $%3/4$% от длины основания, которая нам известна (это диагональ квадрата). По теореме Пифагора отсюда находим $%DK$%. У меня получилось $%6\sqrt{10}$%, но рекомендуется перепроверить.

Теперь найдём $%MN$%. При этом достаточно знать, в каком отношении точка $%M$% делит отрезок $%SA$%. Нарисуем ещё один плоский чертёж в плоскости треугольника $%SAB$% с участием точек $%E$%, $%M$% и $%K$%. Отсюда сразу будет видно, что в треугольнике $%SBE$% отрезки $%SA$% и $%EK$% будут медианами. Следовательно, точка $%M$% делит медиану $%SA$% в отношении $%2:1$%, то есть отношение $%SM:SA$% составляет $%2/3$%. Тем самым, длина отрезка $%MN$% составит $%2/3$% от длины диагонали $%AC$% квадрата в основании, то есть $%MN=8\sqrt{2}$%.

Площадь у меня вышла равной $%\frac12DK\cdot MN=48\sqrt{5}$%, но полезно это перепроверить.

ссылка

отвечен 20 Окт '13 19:07

Мне кажется лишним проведение дополнительных прямых, и нахождение дополнительных точек пересечения. Секущая плоскость, проходящая, через отрезок $%DP$%, пересекает плоскость $%ASC$% по прямой, которая параллельна $%AC$%, и которая проходит через точку пересечения $%DP$% и $%SO.$%

(20 Окт '13 20:07) Anatoliy

@Anatoliy: я здесь применил обычный для школьных задач способ построения сечений. Он имеет силу в том числе и для несимметричных фигур. Предлагаемый Вами путь в каком-то смысле равноценен, так как общее число проводимых линий примерно такое же. Кроме того, у меня в решении все дополнительные построения оказываются задействованы. При этом я вполне допускаю, что есть какое-то более короткое решение.

(20 Окт '13 20:27) falcao

Вы имеете ввиду метод следов. Но, кроме этого метода имеется метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Поэтому нужно знать каждый, и применять тот из них, который для данной задачи оптимальный. При Вашем подходе можно не обнаружить точек пересечения, скажем, в тетради.

(21 Окт '13 14:39) Anatoliy

@Anatoliy: конечно, строить сечения можно по-разному. Но я пока не понял, в чём именно Вы видите недостаток того, что я предлагаю. Там все линии пересечения как раз чётко видны.

(21 Окт '13 15:26) falcao

В лишних построениях. Вы "отдаляете" учащегося от рисунка, заставляя его делать лишние построения. Вам ведь все равно приходится указывать точку пересечения диагоналей сечения. Почему бы это не сделать сразу. Этому, кстати, можно поучиться у А.П. Чехова. Далее появляется следующее:" Из соображений симметрии понятно, что диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны."? А ведь этот факт в моем построении (извините за нескромность) поясняется просто.

(21 Окт '13 16:33) Anatoliy

Здесь каждый недостаток можно превратить в преимущество, и наоборот. Если мы проводим много линий в одном месте, то в глазах начинает "пестрить". Общее количество проводимых линий, как уже говорилось, одинаково, и удобнее воспринимать рисунок, когда они более рассредоточены. Аргумент симметрии я считаю самым простым (так учили делать по "колмогоровской" программе). Вообще, когда преимущество другого подхода очевидно (как в случае с объёмом пирамиды, которого можно избежать, на что Вы справедливо указали), я сразу соглашаюсь. А здесь почти всё относится к категории "дело вкуса".

(21 Окт '13 16:48) falcao

Я не хотел чтобы мои замечания по решению задачи приводили бы к отрицательным эмоциям. Истина превыше всего. Я не считал, но количество проводимых линий в Вашем решении больше. Но, дело не в количестве линий, а в их целесообразности. Кстати, "колмогоровская" программа направлена на строгость и оптимальность в решении различных математических вопросов.

(21 Окт '13 17:07) Anatoliy

А давайте тогда посчитаем количество линий у меня и у Вас, коль скоро "истина превыше всего"? :) Также я предлагаю Вам указать у меня "нецелесообразную" линию. Если таковую Вы найдёте и аргументируете свои соображения, я с Вами соглашусь. По поводу характеристики "колмогоровской" программы я всецело согласен.

(21 Окт '13 17:24) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×416

задан
20 Окт '13 18:22

показан
10755 раз

обновлен
23 Окт '13 7:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru