Интересует решение следующих пределов, прошу помочь. Конечно же, я пытаюсь их решить и полностью их решать не обязательно, достаточно намекнуть.

  1. $%\lim\limits_{x\to-1}(x^5+1)/(x^7+1)$%
  2. $%\lim\limits_{x\to-2}(\sqrt[3]{x-6}+2)/(x^3+8)$%
  3. $%\lim\limits_{x->64}(\sqrt x-8)/(\sqrt[3]x-4)$%
  4. $%\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-x^2+1})$%
  5. $%\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x})/\sqrt[4]{x^4+2x+1}+2x)$%
  6. $%\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}-\sqrt{2x+2})$%

задан 20 Окт '13 21:18

изменен 20 Окт '13 22:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я слегка подредактировал условия.

1) Здесь надо воспользоваться тождеством $$x^{2n+1}+1=(x+1)(x^{2n}-x^{2n-1}+\cdots-x+1).$$ Множитель $%x+1$% сокращается, и предел сразу находится (он будет равен $%5/7$%).

Можно вместо этого избавиться от минусов, сделав предварительно замену $%y=-x$%, что стремится к $%1$%. Тогда сокращение произойдёт на $%1-y$%, но далее уже минусов в числителе и знаменателе не останется.

2) Тут что-то не так с условием, вероятнее всего: числитель стремится к нулю, а знаменатель -- к числу, отличному от нуля, то есть предел равен нулю. Может быть, в знаменателе должно быть $%x^3+8$%? Тогда получилась бы неопределённость типа $%0/0$%, как и в остальных примерах.

3) Можно положить $%y=\sqrt[6]{x}$%, что стремится к двум, а дробь примет вид $%(y^3-8)/(y^2-4)$%. Далее раскладываем на множители числитель и знаменатель по формулам сокращённого умножения, сокращаем на $%y-2$% и находим предел получившейся дроби.

4) Обозначим кубические корни через $%u$% и $%v$% соответственно. Тогда их разность можно превратить в дробь $$\frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2}.$$ В числителе получится разность подкоренных выражений, то есть $%2x^2$%. Далее числитель и знаменатель поделим на $%x^2$%. В числителе окажется $%2$%, а знаменатель станет равен $%(u/x)^2+(u/x)(v/x)+(v/x)^2$%. Каждое из выражений $%u/x$%, $%v/x$% стремится к $%1$%. Например, $%u/x=\sqrt[3]{1+1/x+1/x^3}\to1$% при $%x\to\infty$%.

5) Здесь надо обратить внимание на порядок величин. В числителе мы видим величину порядка $%\sqrt{x^2}=x$%; в знаменателе -- порядка $%\sqrt[4]{x^4}=x$%, а все остальные слагаемые малы относительно рассмотренных. Поэтому предел равен $%1$%. Формально надо поделить на $%x$% числитель и знаменатель. Тогда числитель станет равен $%\sqrt{1+3/x^2}+\sqrt{1/x}$%, что стремится к единице. Аналогично для знаменателя.

Добавление. По исправленному варианту задачи 2: здесь надо добиться сокращения на множитель $%x+2$%. В знаменателе он выделяется просто. Числитель преобразуется в соответствии с формулой $$u+v=\frac{u^3+v^3}{u^2-uv+v^2},$$ где $%u,v$% -- слагаемые числителя. В ответе должно получиться $%1/144$%.

В задаче 6, если условие воспроизведено верно, предел равен (плюс) бесконечности. Выделяем множитель $%\sqrt{x}$%, и он домножается на $%\sqrt{1+2/x}+1-\sqrt{2+2/x}$%, что стремится к положительной константе $%2-\sqrt2$%. Поэтому произведение стремится к $%+\infty$%.

ссылка

отвечен 20 Окт '13 21:47

изменен 20 Окт '13 23:07

Вы правды, допустил ошибку, спасибо за советы.

(20 Окт '13 22:08) XAegis

Посмотрите ещё 6 пункт (добавил его)

(20 Окт '13 22:10) XAegis

Сейчас сделаю добавление.

(20 Окт '13 22:57) falcao

спасибо ещё раз

(21 Окт '13 0:12) XAegis
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×743

задан
20 Окт '13 21:18

показан
1029 раз

обновлен
21 Окт '13 0:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru