пределы - Вычисление пределов с элементами неопределённости

Я слегка подредактировал условия.

1) Здесь надо воспользоваться тождеством $$x^{2n+1}+1=(x+1)(x^{2n}-x^{2n-1}+\cdots-x+1).$$ Множитель $%x+1$% сокращается, и предел сразу находится (он будет равен $%5/7$%).

Можно вместо этого избавиться от минусов, сделав предварительно замену $%y=-x$%, что стремится к $%1$%. Тогда сокращение произойдёт на $%1-y$%, но далее уже минусов в числителе и знаменателе не останется.

2) Тут что-то не так с условием, вероятнее всего: числитель стремится к нулю, а знаменатель -- к числу, отличному от нуля, то есть предел равен нулю. Может быть, в знаменателе должно быть $%x^3+8$%? Тогда получилась бы неопределённость типа $%0/0$%, как и в остальных примерах.

3) Можно положить $%y=\sqrt[6]{x}$%, что стремится к двум, а дробь примет вид $%(y^3-8)/(y^2-4)$%. Далее раскладываем на множители числитель и знаменатель по формулам сокращённого умножения, сокращаем на $%y-2$% и находим предел получившейся дроби.

4) Обозначим кубические корни через $%u$% и $%v$% соответственно. Тогда их разность можно превратить в дробь $$\frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2}.$$ В числителе получится разность подкоренных выражений, то есть $%2x^2$%. Далее числитель и знаменатель поделим на $%x^2$%. В числителе окажется $%2$%, а знаменатель станет равен $%(u/x)^2+(u/x)(v/x)+(v/x)^2$%. Каждое из выражений $%u/x$%, $%v/x$% стремится к $%1$%. Например, $%u/x=\sqrt[3]{1+1/x+1/x^3}\to1$% при $%x\to\infty$%.

5) Здесь надо обратить внимание на порядок величин. В числителе мы видим величину порядка $%\sqrt{x^2}=x$%; в знаменателе -- порядка $%\sqrt[4]{x^4}=x$%, а все остальные слагаемые малы относительно рассмотренных. Поэтому предел равен $%1$%. Формально надо поделить на $%x$% числитель и знаменатель. Тогда числитель станет равен $%\sqrt{1+3/x^2}+\sqrt{1/x}$%, что стремится к единице. Аналогично для знаменателя.

Добавление. По исправленному варианту задачи 2: здесь надо добиться сокращения на множитель $%x+2$%. В знаменателе он выделяется просто. Числитель преобразуется в соответствии с формулой $$u+v=\frac{u^3+v^3}{u^2-uv+v^2},$$ где $%u,v$% -- слагаемые числителя. В ответе должно получиться $%1/144$%.

В задаче 6, если условие воспроизведено верно, предел равен (плюс) бесконечности. Выделяем множитель $%\sqrt{x}$%, и он домножается на $%\sqrt{1+2/x}+1-\sqrt{2+2/x}$%, что стремится к положительной константе $%2-\sqrt2$%. Поэтому произведение стремится к $%+\infty$%.