В треугольнике ABC биссектрисы пересекаются в точке О.Прямая ВО пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке S. Найти длину отрезка OS и площадь четырехугольника AOSC. Если AC=корень из (3 + корень из 3).угол B=30 градусов .Угол C=45 градусов.

задан 20 Окт '13 21:55

изменен 23 Окт '13 21:40

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно воспользоваться таким полезным общим свойством, которое справедливо для любого треугольника: $%SA=SO=SC$% в обозначениях задачи. Докажем первое равенство; второе устанавливается симметрично.

Надо проверить, что треугольник $%SAO$% равнобедренный, а для этого достаточно сравнить его углы при основании. Угол $%OAS$% равен сумме угла $%OAC$% и угла $%CAS$%. Первый составляет половину угла при вершине $%A$% в треугольнике $%ABC$%, поскольку $%AO$% биссектриса. Второй угол равен вписанному углу $%CBS$%, равному половине угла $%B$%. То есть вместе получается $%(\angle A+\angle B)/2$%. С другой стороны, угол $%AOS$% имеет такую же величину, будучи внешним углом треугольника $%AOB$% при вершине $%O$%. Отсюда следует, что $%SA=SO$%.

Теперь можно найти $%OS$% из равнобедренного треугольника $%SAC$%, в котором $%SA$% и $%SC$% равны $%OS$%. Длина стороны $%AC$% известна, а угол при основании равен $%\angle B/2$%, то есть $%15$% градусам. Получается $$OS=\frac{AC}{2\cos15^{\circ}},$$ а косинус находится через формулу половинного угла $%\cos(x/2)=\pm\sqrt{(1+\cos x)/2}$%. Знак здесь берётся "плюс", так как углы острые.

Площадь четырёхугольника (порядок следования вершин должен быть $%AOCS$%) находится как сумма площадей двух (равнобедренных) треугольников $%SAO$% и $%SOC$%. Длину боковой стороны, которая у них одинакова, мы только что нашли. Углы при вершине $%S$% там будут равны $%\angle C$% и $%\angle A$% по свойствам вписанных углов, а эти значения нам известны. Поэтому известны и их синусы, что достаточно для нахождения площади. При этом синус угла $%105$% градусов не надо находить отдельно, так как он равен косинусу $%15$% градусов, что уже подсчитано.

ссылка

отвечен 20 Окт '13 23:32

Площадь четырехугольника лучше найти через формулу $$S = \frac{d1 d2 sin\alpha}{2}$$ d1 = OS; d2 = AC $$ \alpha = \angle APB = \frac{\pi}{3} $$ Где P - это пересечение BS и AC это избавляет от неприятных расчетов и упрощений

(30 Окт '13 21:55) algogol

@algogol: согласен с Вами, что через произведение диагоналей площадь находится проще.

(30 Окт '13 23:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,920

задан
20 Окт '13 21:55

показан
978 раз

обновлен
30 Окт '13 23:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru