теория - Простые числа

Пусть $%p^3-6p^2+5p+1=n^2$%, где $%n$% целое неотрицательное. Одна из идей состоит в том, чтобы переписать уравнение в виде $%p(p^2-6p+5)=(n-1)(n+1)$% и далее заключить, что хотя бы один из двух последних сомножителей должен делиться на $%p$%. После этого надо разобрать два случая.

1) $%n-1$% кратно $%p$%, то есть $%n=pk+1$% при целом $%k\ge0$%. Это значение подставляем в уравнение, сокращаем на $%p$% и приходим к равенству $%p^2-6p+5=k(pk+2)$%. Далее идея вот какая: если собрать в одну сторону всё, куда входит $%p$%, а в другую -- всё остальное, то получится, что $%2k-5$% делится на $%p$%. Случаи $%k=0,1,2$% легко исследуются отдельно; в первом из них как раз и получается $%p=5$%. Два других явно не подходят. После этого можно считать, что $%k\ge3$%. Тогда $%2k-5$% -- натуральное число, делящееся на $%p$%, поэтому должно выполняться неравенство $%2k-5\ge p$%. Это значит, что $%k$% является сравнительно большим -- порядка $%p/2$%. Тогда произведение $%k(pk+2)$% больше $%p^3/4$%, а равная ему левая часть меньше $%p^2$%. Это ведёт к ограничениям на $%p$%: получается, что $%p < 4$%. А конечное число случаев всегда можно исследовать вручную. На самом деле, если написать неравенства точнее, то окажется, что таких $%p$% просто не существует. Ключевой момент в том, что $%p^3/4$% обгоняет $%p^2$% при больших $%p$%.

2) Пусть теперь $%n+1$% кратно $%p$%; положим $%n=pm-1$%. Здесь $%m$% -- натуральное число. После подстановки в уравнение и сокращения обеих частей на $%p$% получается $%p^2-6p+5=(pm-2)m$%. Аналогично предыдущему случаю, здесь $%2m+5$% делится на $%p$%, откуда сразу имеем $%m\ge(p-5)/2$%.

Теперь действует предыдущая идея, что если $%m$% растёт примерно как $%p/2$%, то левая часть растёт примерно как $%p^3/4$%, и потому при больших значениях $%p$% обгоняет правую, растущую как $%p^2$%. То есть проверять нужно лишь конечное число значений $%p$%.

Но здесь уже надо использовать точные неравенства, заменяя $%m$% на $%(p-5)/2$% два раза, и потом сравнивая кубический многочлен с квадратным. Это технически сложно, и можно поступить проще. Надо заметить, что левая часть может быть разложена на множители. Тогда $%(p-1)(p-5)=(pm-2)m\ge(pm-2)(p-5)/2$% -- в предположении, что $%p > 5$% (случаи малых значений $%p$% уже исследованы). После сокращения на $%p-5$% и домножения на $%2$% получается $%2(p-1)\ge pm-2$%, то есть $%m\le2$% и $%p\le2m+5\le9$%. Это значит, что достаточно рассмотреть лишь случай $%p=7$%, при котором квадрата не возникает.