анализ - Помогите найти производную n-го порядка (ax+b)^(1/3)

Здесь нужно последовательно находить производные, подмечая общую закономерность. Пусть $%f(x)=(ax+b)^{1/3}$%. Тогда $%f'(x)=\frac13a(ax+b)^{-2/3}$%. Множитель $%a$% появляется как производная функции $%ax+b$%, в соответствии с правилом нахождения производной сложной функции. Дальше находим вторую производную, она равна $$f''(x)=\frac13\left(-\frac23\right)a^2(ax+b)^{-5/3}.$$ Множитель $%a$% появляется по тому же принципу. Далее будет $$f'''(x)=\frac13\left(-\frac23\right)\left(-\frac53\right)a^3(ax+b)^{-8/3}.$$

Теперь закономерность легко угадывается. Прежде всего, у $%n$%-й производной $%a$% будет в $%n$%-й степени. Далее, показатель степени у $%ax+b$% будет равен $%1/3-n$%, так как единицу из $%1/3$% мы вычитали $%n$% раз. В знаменателе дроби будет $%3^n$%. Знак минус встречается $%n-1$% раз, что даёт $%(-1)^{n-1}$%. Наконец, в числителе будет произведение чисел $%2\cdot5\cdot8\cdots$% с увеличением на три (первую единицу мы игнорируем). Надо подсчитать последний множитель, что делается просто. У нас всего чисел $%n-1$%, так как первую единицу мы не считаем. Значит, увеличение на $%3$% происходит $%n-2$% раза, то есть в конце будет стоять $%2+3(n-2)=3n-4$%. В ответе будет следующее: $$f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}a^n\frac{2\cdot5\cdot\ldots\cdot(3n-4)}{3^n}(ax+b)^{1/3-n}.$$ При желании, показатель степени $%1/3-n$% можно записать в виде $%-\frac{3n-1}3$%. Тогда будет ясно, что далее вслед за $%3n-4$% в числителе ожидается $%3n-1$%.