теория-вероятностей - Задачи по теории вероятности

№1 - Несложная задача, но длинная... Условие независимости событий можно записывать как $%P(AB) = P(A)\,P(B)$%... вероятности вычисляются геометрически и поскольку имеем равномерное распределение в единичном квадрате, то вероятности событий равны площади соответствующей фигуры...

Вариантов там надо рассматривать несколько... я покажу только один (точнее полтора ;)... )

Первые пол варианта - $%r \le 0$%... очевидно, что все три вероятности будут нулевыми... и равенство выполнено... то есть события независимы... (хотя это и вырожденный случай)...

Дальше рассматриваем случай $%0 < 3r \le 1$%... расположение множеств, соответствующих событиям изображено на следующем рисунке

$%P(A) = 1 - (1-r)^2 = 2r - r^2$% - соответствует площади красного шестиугольника...
$%P(B) = \frac{1}{2}\,(3r)^2 = \frac{9r^2}{2}$% - соответствует площади синего треугольника...
$%P(AB) = \frac{9r^2}{2} - (r\sqrt{2})^2 = \frac{5r^2}{2}$% - соответствует пересечению фигур...

Итого получили уравнение $$P(AB) = P(A)\;P(B)\quad\Rightarrow\quad \frac{5r^2}{2} = \frac{9r^2}{2}\;(2r - r^2)$$

В силу рассматриваемых значений $%r$% сокращаем на $%r^2$% и решаем полученное квадратное уравнение ... если оно имеет решение, то не забываем проверить принадлежность к рассматриваемому интервалу значений...

И так далее...

===================================

№2 - по-моему, это простая задача на умножение вероятностей...