Найдите значение интеграла:

$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {\cosh x} }}} $$

задан 26 Окт '21 13:50

изменен 26 Окт '21 14:59

10|600 символов нужно символов осталось
4

в силу чётности $%\int_{0}^{+\infty} = \int_{-\infty}^{0}$% ... тогда

$$ 2I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{2}\;dx}{\sqrt{e^x+e^{-x}}} = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{x/2}\;\sqrt{2}\;dx}{\sqrt{e^{2x}+1}} = \Big\{z=e^{2x}\Big\}= $$ $$ =\int_{0}^{+\infty}\frac{z^{1/4}\;\sqrt{2}\;dz}{2z\;\sqrt{1+z}} = \int_{0}^{+\infty}\frac{z^{-3/4}\;dz}{\sqrt{2}\;(1+z)^{1/2}} = \int_{0}^{+\infty}\frac{z^{1/4 - 1}\;dz}{\sqrt{2}\;(1+z)^{1/4+1/4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot B\left(\frac{1}{4};\;\frac{1}{4}\right) $$

ссылка

отвечен 26 Окт '21 14:15

Можно чуть преобразовать: $%\frac{\Gamma^{2}\left(\frac{1}{4}\right)}{2 \sqrt{2 \pi}}$%.

(26 Окт '21 14:27) Rene
1

$%I = \frac{{{{\left( {\Gamma \left( {\frac{1}{4}} \right)} \right)}^2}}}{{2\sqrt {2\pi } }} = L{\text{ - лемнискатическая константа}}$%

$%\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {\sinh x} }}} = \sqrt 2 \cdot L$%

(26 Окт '21 14:29) Igore
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,423
×161
×9
×4

задан
26 Окт '21 13:50

показан
112 раз

обновлен
26 Окт '21 14:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru