Нужно решить приблизительно (численно) уравнение $$3x^4+4x^3-12x^2-5=0$$ мне сказали перенести в левую часть, часть уравнения точнее $$3x^4+4x=12x^2+5$$ теперь рассмотреть как функцию каждую. Я построил графики а как уточнять корни, я не помню точно но что то он говорил про монотонность и что то нужно умножить две функций какие то находя производные Скажите Алгоритм решения, пожалуйста.

задан 22 Окт '13 18:29

изменен 23 Окт '13 21:35

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Для решения уравнений 4-й степени иногда можно с успехом применить метод Феррари, но здесь он не помогает. Прежде всего, при численном решении уравнения надо более точно ставить задачу, указывая погрешность приближения. Идею, описанную Вами здесь, я не уловил, поэтому предложу тот способ, который мне представляется наиболее естественным, исходя из специфики данного примера. Здесь бросается в глаза следующее: если $%f(x)=3x^4+4x^3-12x^2-5$%, то у этой функции очень хорошая производная -- она легко раскладывается на множители: $%f'(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x^2+x-2)=12x(x-1)(x+2)$%. Это значит, что у функции $%f(x)$% мы знаем все точки локального экстремума, а также промежутки возрастания и убывания (по знаку производной).

Прежде всего, $%f(-2)=-37$%, $%f(0)=-5$%, $%f(1)=-10$%. Это позволяет хорошо представить себе график функции $%f$%. Она сначала убывает при $%x < -2$%, принимая значения от $%+\infty$% до $%-37$%. На этом участке график один раз пересекает ось абсцисс, что даёт один из корней. Далее в точке $%x=-2$% у функции имеется локальный минимум, а потом она начинает возрастать при $%x\in(-2;0)$%. Значения принимаются от $%-37$% до $%-5$%, и корней здесь нет. В точке $%x=0$% имеется локальный максимум, потом идёт убывание при $%x\in(0;1)$%, и значения функции уменьшаются от $%-5$% до $%-10$%. В точке $%x=1$% наблюдается локальный минимум, а далее $%f$% монотонно возрастает, со значениями от $%-10$% до $%+\infty$%, и при этом она второй раз пересекает ось абсцисс, что даёт второй действительный корень.

Всего корней оказывается два, и теперь надо их локализовать, то есть указать промежутки, на которых они находятся. Для этого надо заметить, что $%f(-3)=22 > 0$%, $%f(-2)=-37 < 0$%, то есть на концах отрезка $%[-3;-2]$% функция имеет разные знаки. Это значит, что первый корень $%x_1$% принадлежит интервалу $%(-3;-2)$%. Можно при этом считать, что он приближённо равен $%-2,5$% (середина), и точность такого приближения равна $%0,5$%. Если нужно повысить уровень точности, то для этого можно применить метод половинного деления. Его идея проста: смотрим значение функции в середине, то есть $%f(-2,5)$%. Вычисление показывает, что значение там отрицательно, откуда вытекает, что $%f$% меняет знак между $%-3$% и $%-2,5$%, то есть корень следует искать там. Снова берём середину -- это $%-2,75$%, и так до достижения нужной степени точности.

Для второго корня ситуация похожая: у нас $%f(1)=-10 < 0$%, $%f(2)=27 > 0$%. Значит, второй корень $%x_2$% принадлежит интервалу $%(1;2)$%, и приближённое значение можно положить равным $%1,5$%.

Вычисления на компьютере показывают, что $%x_1\approx-2.823853083$%, $%x_2\approx1.592088065$%.

ссылка

отвечен 22 Окт '13 19:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×496

задан
22 Окт '13 18:29

показан
1820 раз

обновлен
22 Окт '13 19:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru