2
1

Две окружности внутренне касаются в точке $%B$%, меньшая окружность касается в точке $%D$% хорды $%AC$% большей окружности. Известно, что $%AB=2BC$%; $%AC=12$%; $%BD=2\sqrt{10}$%. Найти радиусы окружностей.

задан 22 Окт '13 22:27

изменен 23 Окт '13 21:27

Deleted's gravatar image


126

А если я просто видела похожую задачу на другом сайте (форуме), то отвечать - "честно" ? )) или не очень ? )) {там я тогда задачу решила.. и в этой даже не сразу узнала "ту".. =) точнее, задача - да, та же самая, только там было "доказать, что..", а здесь доказать - и потом еще долго считать =)}
А задача красивая!

(23 Окт '13 3:44) ЛисаА

@ЛисаА: конечно, если Вам знакома эта задача, то, как говорится, "и карты в руки"! Тут в принципе нет ничего "нечестного" :)

(23 Окт '13 4:18) falcao

Там было: заданы 2 окружности, имеющие внутреннее касание ( здесь - в точке $%B$%), построена хорда большего круга (здесь $%AC$%), касающаяся меньшей окружности, и проведены отрезки, соединяющие концы хорды с общей точкой (точкой касания) двух окружностей ($%AB$% и $%BC$%); доказать: что отрезок, соединяющий точку касания окружностей с точкой касания меньшей окружности и хорды (отрезок $%BD$%), - является биссектрисой треугольника $%ABC$% ..
А здесь: если знаем, что биссектриса - то дальше уже можно вытянуть вычисления..

(23 Окт '13 4:31) ЛисаА

я всё не досчитывала - только нарисовала ( и долго не понимала, что это "та же задача" ).. сейчас скину рисунок..

(23 Окт '13 4:33) ЛисаА

Только одно меня тревожит:). Когда же работа и отдых?

(23 Окт '13 19:10) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
5

На самом деле полностью цифры я не считала.. Но если доказать, что $%BD$% - биссектриса угла $%ABC$%, - то дальше можно посчитать "как-нибудь".. =)
1)Если окружности "касаются" - значит, есть общая касательная ( в точке $%B$% ); и "угол между касательной и хордой = половине дуги, которую эта хорда стягивает" ( и = любому Вписанному углу, опирающемуся на эту дугу): если угол $%CBK = \alpha$%, то и угол $%CAB = \alpha$%; а так как хорды $%BC$% ( в большем круге) и $%BP$% ( в меньшем) лежат на одной прямой - то и угол $%PMB = $% углу $%PBK = \alpha$%. А тогда: угол $%CAB = $% углу $%PMB$% -- значит, прямые параллельны: $%MP || AC$%.
2) Пусть угол $%CDP = \phi$%- и это тоже угол между касательной $%DK$% и хордой $%DP$% - тогда и $%DBP = \phi$%. Но так как прямые параллельны, то и угол $%DPM = CDP =\phi$%, а тогда и угол $%DBM = \phi$%. Т.е. $%BD$% - биссектриса угла $%MBP$% ( или $%ABC$%).
3)Если $%BD$% - биссектриса, то $%AD : CD = AB: CB$%, т.е. $%AD = 2\cdot CD$%. И находим, что $%AD = 8$%, и $%CD = 4$%
4) По формуле длины биссектрисы (не уверена, что эта формула есть во всех учебниках.. но, похоже, задача не совсем "рядовая-школьная" - может, формулой можно пользоваться..): $%CD^2 = BC\cdot AB - CD\cdot AD$%, т.е. $%4\cdot 10 = x\cdot 2x - 4\cdot 8$%, т.е. $%2x^2 = 40 + 32$%, и $%x = 6$%. Т.е. $%BC = 6$% и $%AB = 12$% (треугольник $%ABC$% здесь еще и равнобедренный..=) и $%MBP$% - тоже), и - дальше поленилась досчитать - радиус окружности, описанной вокруг треугольника с известными сторонами - можно найти. ( Как потом искать меньший радиус - пока не знаю.. "в худшем случае" можно найти углы при основании этого равнобедренного треугольника $%MBP$%, и как-то "вытянуть" через теорему синусов.. хотя это долго.. может, можно как-то проще..)

alt text

ссылка

отвечен 23 Окт '13 5:11

Решение хорошее, а задача достаточно "забористая", то есть тут очень много информации сразу, и в ней надо как следует сориентироваться. Параллельность прямых $%MP$% и $%AC$% можно получить из сравнения углов, а можно рассмотреть гомотетию, переводящую маленькую окружность в большую. Концовка решения получается просто: $%CD^2=CP\cdot CB$%, откуда $%CP=8/3$%, $%PB=10/3$%, то есть отношение радиусов $%r:R$% равно $%BP:BC=5:9$%.

(23 Окт '13 5:30) falcao

"можно рассмотреть гомотетию, переводящую маленькую окружность в большую" - да)) мне и "в прошлый раз" так же подсказали.. =) (просто вывела сейчас то, что тогда знала сама..=)) А почему радиусы относятся как $%5:9$% - я сейчас посчитать уже не способна =) сейчас ушла, вернусь вечером - тогда пойму =))

(23 Окт '13 5:43) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,393

задан
22 Окт '13 22:27

показан
1765 раз

обновлен
23 Окт '13 19:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru