|
Кривая проходит через точку (2;4) и обладает тем свойством, что отрезок отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания. задан 27 Фев '12 21:13 
cjhjrjktn |
|
Рассмотрим уравнение касательной в точке $%x_0$%:$%y=f'(x_0)x+f(x_0)-x_0f'(x_0)$% Она пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой $%\frac{f'(x_0)x_0-f(x_0)}{f'(x_0)}$% Значит $%x^2_0=|\frac{f'(x_0)x_0-f(x_0)}{f'(x_0)}|(*)$% Рассмотрим случай когда выражение под модулем положительно(другой случай аналогичен). Решаем дифференциальное уравнение: $%x^2=x-\frac{y}{y'} \Rightarrow \frac{y}{y'}=x-x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-x^2} \Rightarrow \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x-x^2} \Rightarrow \int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x-x^2} \Rightarrow$% $% lny+C=lnx-ln(1-x)$%(интеграл считается выделением полного квадрата в знаменателе и заменой переменной). Рассмотрев случай, когда под модулем отрицательное число получаем $%lny+C=lnx-ln(x+1)$% Подставляя данные функции в (*) находим когда получается то или другое уравнение и из условия про (2, 4) находим константу отвечен 27 Фев '12 21:53 
dmg3 Спасибо! Не знала куда обратиться
(27 Фев '12 22:13)
cjhjrjktn
При интегрировании получаем ln|x|, lx|1-x| так что x может быть и боьше 1. Кроме того, в таких уравнениях удобно обозначать константу через ln |C|, так легче записать общее решение, если нужно.
(27 Фев '12 23:54)
DocentI
|