Кривая проходит через точку (2;4) и обладает тем свойством, что отрезок отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

задан 27 Фев '12 21:13

изменен 28 Фев '12 14:34

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим уравнение касательной в точке $%x_0$%:$%y=f'(x_0)x+f(x_0)-x_0f'(x_0)$% Она пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой $%\frac{f'(x_0)x_0-f(x_0)}{f'(x_0)}$% Значит $%x^2_0=|\frac{f'(x_0)x_0-f(x_0)}{f'(x_0)}|(*)$% Рассмотрим случай когда выражение под модулем положительно(другой случай аналогичен). Решаем дифференциальное уравнение: $%x^2=x-\frac{y}{y'} \Rightarrow \frac{y}{y'}=x-x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-x^2} \Rightarrow \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x-x^2} \Rightarrow \int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x-x^2} \Rightarrow$%

$% lny+C=lnx-ln(1-x)$%(интеграл считается выделением полного квадрата в знаменателе и заменой переменной). Рассмотрев случай, когда под модулем отрицательное число получаем $%lny+C=lnx-ln(x+1)$% Подставляя данные функции в (*) находим когда получается то или другое уравнение и из условия про (2, 4) находим константу

ссылка

отвечен 27 Фев '12 21:53

Спасибо! Не знала куда обратиться

(27 Фев '12 22:13) cjhjrjktn

При интегрировании получаем ln|x|, lx|1-x| так что x может быть и боьше 1. Кроме того, в таких уравнениях удобно обозначать константу через ln |C|, так легче записать общее решение, если нужно.

(27 Фев '12 23:54) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×624
×38

задан
27 Фев '12 21:13

показан
1821 раз

обновлен
28 Фев '12 14:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru