Периметр параллелограмма ABCD равен 32, угол B = 120. Втреугольники ABC и ADC вписаны окружности радиуса sqrt(3). Найти расстояние между центрами окружностей и площадь параллелограмма.

задан 22 Окт '13 23:29

10|600 символов нужно символов осталось
3

Не уверена, что придумалось самое рациональное решение.. ( похоже, здесь может быть много способов..) Например, так:
alt text
1)Если окружность вписана в угол - то ее центр лежит на биссектрисе -т.е. угол $%ABE = CBE = 60^0$%, и тогда из треугольника $%BNE$% получаем: $%BN = r\cdot\ tg(30)= \sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$%. Аналогично $%BQ = 1$%. И если обозначить стороны параллелограмма $%a$% и $%b$%, то отрезки $%AQ = AM = a - 1$%, и $%CN = CM = b - 1$%. Т.е. знаем диагональ параллелограмма: $%AC = a -1 + b- 1 = ( a+ b) - 2 = 16 - 2 =14$%.
2) По формуле $%r = \frac{2\cdot S}{P}$% получаем площадь треугольника $%ABC$% (т.е. сразу "удвоенную площадь"): $%2S_{ABC} = r\cdot P = \sqrt{3}\cdot (16+14) = 30\sqrt{3}$%. Т.е. это и есть площадь параллелограмма: $%S_{ABCD} = 30\sqrt{3}$%
3) С другой стороны $%S_{ABCD} = ab\cdot sin(120)$%, т.е. $%ab\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$%, отсюда произведение сторон $%ab = 60$%. И решая систему $%a +b = 16$% и $%ab = 60$%--получаем стороны $%6$% и $%10$% (система даже "подстановкой" сведется к кв. уравнению, для которого условия теоремы Виета запишутся так же: сумма корней =$%16$% и произведение корней = $%60$%, т.е. можно решить, просто угадывая "по Виету"). А так как $%AO = CO = 7$%, и $%AM = a - 1= 5$%, то $%OM = 2$%. Тогда из треугольника $%OME$% получаем $%OE = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$%, т.е. расстояние между центрами $%FE = 2\sqrt{7}$%

ссылка

отвечен 23 Окт '13 2:04

изменен 23 Окт '13 2:05

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь можно за $%x$% обозначить одну из сторон, тогда вторая $%16-x.$% Диагональ параллелограмма $%\sqrt{x^2+(16-x)^2-2x(16-x)cos120^o}=\sqrt{x^2-16x+16^2}=t>0.$% Далее воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в треугольник $%r=\frac{2S}{P}.$% Будем иметь:$$\sqrt{3}=\frac{x(16-x)sin120^o}{16+\sqrt{x^2-16x+16^2}}\Rightarrow t^2+2t-224=0\Rightarrow t=14 -$$ диагональ параллелограмма. Затем $%\sqrt{x^2-16x+16^2}=14\Leftrightarrow [x=6;x=10].$% Стороны параллелограмма $%6$% и $%10$%. Расстояние от вершины параллелограмма до точки касания с диагональю параллелограмма $%\frac{6+10+14}{2}-10=5.$% Расстояние между точками касания равно $%14-2\cdot5=4.$% Расстояние между центрами окружностей $%2\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=2\sqrt{7}.$% Найти площадь параллелограмма не составит труда. Рисунок к задаче не приводил. Можно воспользоваться рисунком ЛисаА, если автор этого рисунка не против:).

ссылка

отвечен 23 Окт '13 18:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
22 Окт '13 23:29

показан
1007 раз

обновлен
23 Окт '13 18:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru