|
Пусть $%S$% - множество точек на декартовой плоскости, удовлетворяющих $%|||x|-2|-1|+|||y|-2|-1|=1$%. Если бы модель $%S$% была построена из провода незначительной толщины, то общая длина требуемого провода была бы $%a\sqrt{b}$%, где $%a$% и $%b$% - положительные целые числа, а $%b$% не делится на квадрат любого простого числа. Найдите $%a+b$%. задан 28 Окт '21 23:39 
Rene |
|
Пусть первое слагаемое равно t, где 0<=t<=1. Тогда второе равно 1-t. Число ||x|-2|-1 равно +-t, то есть ||x|-2| равно 1+-t. Это всегда неотрицательное число, поэтому |x|=2+-(1+-t) принимает 4 значения: 3+t, 3-t, 1+t, 1-t. Аналогично, |y| принимает 4 значения, получаемые заменой t->1-t, то есть 4-t, 2+t, 2-t, t. Все значения, которые здесь представлены, неотрицательны. Отсюда и x, и y независимо принимают по 8 значений. Фиксируя пару таких значений (например, x=1+t, y=4-t) имеем параметрическое уравнение отрезка, длина которого равна sqrt(2). Сумма длин всех отрезков равна 64sqrt(2), что однозначно определяет a и b, так как b свободно от квадратов. Тем самым, a+b=66. отвечен 29 Окт '21 1:27 
falcao |
а эту фигуру точно можно построить из провода?
Вообще, понятно, что ответ 66, хотя это, вероятно, еще следует формально показать.