планиметрия - Трапеция и прямой угол

Пусть $%CK=x$%, $%KD=3x$%, $%h$% -- высота трапеции, $%BC=y$%, и $%2\varphi$% -- величина угла $%BAD$%. Проведём через точку $%B$% прямую, параллельную $%CD$%, пересекающую $%AD$% в точке $%M$%. Она делит трапецию на параллелограмм и треугольник. В последнем биссектриса совпадает с высотой, то есть он равнобедренный, и потому $%AD=AM+MD=10+y$%. Выпишем несколько уравнений: $%(y+5)h=96$% (площадь); $%4x=CD=BM=2AB\sin\varphi$%, то есть $%x=5\sin\varphi$%. Из прямоугольного треугольника $%ADK$% имеем $%3x=KD=(10+y)\sin\varphi$%, откуда $%y=5$%. Основания трапеции равны $%5$% и $%15$%; осталось найти $%CD$%. Поскольку $%h=96/(y+5)=48/5$%, получается $%\sin2\varphi=h/10=24/25$%. Значит, $%\cos2\varphi=7/25$% с учётом того, что угол $%A$% острый, и тогда $%\sin^2\varphi=(1-\cos2\varphi)/2=9/25$%, то есть $%\sin\varphi=3/5$%. Следовательно, $%x=5\sin\varphi=3$%, и $%CD=12$%.