В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, угол А - острый. Площадь трапеции равна 96, сторона АВ=10. Биссектриса угла А пересекает сторону CD в точке К, уго АКD - прямой и СК:КD=1:3. Найти стороны трапеции.

задан 23 Окт '13 17:15

изменен 23 Окт '13 17:15

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%CK=x$%, $%KD=3x$%, $%h$% -- высота трапеции, $%BC=y$%, и $%2\varphi$% -- величина угла $%BAD$%. Проведём через точку $%B$% прямую, параллельную $%CD$%, пересекающую $%AD$% в точке $%M$%. Она делит трапецию на параллелограмм и треугольник. В последнем биссектриса совпадает с высотой, то есть он равнобедренный, и потому $%AD=AM+MD=10+y$%. Выпишем несколько уравнений: $%(y+5)h=96$% (площадь); $%4x=CD=BM=2AB\sin\varphi$%, то есть $%x=5\sin\varphi$%. Из прямоугольного треугольника $%ADK$% имеем $%3x=KD=(10+y)\sin\varphi$%, откуда $%y=5$%. Основания трапеции равны $%5$% и $%15$%; осталось найти $%CD$%. Поскольку $%h=96/(y+5)=48/5$%, получается $%\sin2\varphi=h/10=24/25$%. Значит, $%\cos2\varphi=7/25$% с учётом того, что угол $%A$% острый, и тогда $%\sin^2\varphi=(1-\cos2\varphi)/2=9/25$%, то есть $%\sin\varphi=3/5$%. Следовательно, $%x=5\sin\varphi=3$%, и $%CD=12$%.

ссылка

отвечен 23 Окт '13 18:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Отрезок $%KM$% параллелен основанию $%AD.$% Точка $%M$% делит сторону $%AB$% в отношении $%MB:MA=1:3.$% Далее все понятно из рисунка.

ссылка

отвечен 23 Окт '13 19:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
23 Окт '13 17:15

показан
685 раз

обновлен
23 Окт '13 19:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru