планиметрия - Равнобедренный треугольник

Опустим перпендикуляры на основание из точек $%O$% и $%K$%. Пусть $%D$%, $%E$% -- их основания. Ясно, что $%D$% -- середина основания, а $%AD:DE=3:2$%. Тогда можно положить $%AD=3x$%, $%DE=2x$%, откуда $%EC=x$%. Следовательно, $%DE:EC=2:1$%, но это такое же отношение, как и $%BK:KC$%. Поскольку $%AK$% -- это биссектриса, она делит противоположную сторону в отношении $%AB:AC$%, и оно тоже равно двум. Значит, боковая сторона вдвое больше основания, и она равна $%12x$%. По теореме Пифагора легко находится высота $%BD$%, а тогда $%KE$% как одна треть высоты выражается через $%x$%. В треугольнике $%AKE$% гипотенуза известна, а катеты выражены через $%x$%. Это позволяет найти $%x$% и стороны треугольника $%ABC$%. Далее находим его площадь $%S$% и радиус вписанной окружности по формуле $%r=S/p$%. После этого становится известной площадь вписанного круга и разность площадей.