|
$%x_{n} = \frac{ x_{n-1} }{1+ x_{n-1} }$%, где $%x_{1} =1$%. Найти $%x_{2013}$% ;) подскажите, пожалуйста, как решать на последовательности? задан 24 Окт '13 8:48 
topmag |
|
$%x_1=1,x_2=\frac{x_1}{1+x_1}=\frac12,x_3=\frac{x_2}{1+x_2}=\frac13,...$% По методу мат. индукции докажем ,что $%x_n=\frac1n.$% $%x_1=1=\frac11.$% Допустим при $%n=k,$% формула правильна- $%x_k=\frac1k,$% докажем, что формула правильна, при $%n=k+1.$% $%x_{k+1}=\frac{x_k}{1+x_k}=\frac{\frac1k}{1+\frac1k}=\frac{\frac1k}{\frac{k+1}k}=\frac1{k+1}.$% И так согласно приципу мат. индукции формула верна для каждого члена последовадельности.Значит $% x_{2013}=\frac1{2013}.$% отвечен 24 Окт '13 10:28 
ASailyan Извините, но дело в том, что я в 8 классе и еще не знакома с мат.индукцией. Можно ли решить другим способом?
(24 Окт '13 18:17)
topmag
@topmag: можно рассмотреть последовательность из обратных величин: $%y_n=1/x_n$%. Тогда $%y_1=1$%, и $%y_n=(1+x_{n-1})/x_{n-1}=1/x_{n-1}+1=y_{n-1}+1$%. То есть к каждому следующему "игреку" прибавляется единица. Ясно, что $%y_n=n$% для всех $%n$%. Строгое математическое доказательство и здесь основано на индукции, но в таком виде всё как бы понятно, и на принцип можно не ссылаться.
(24 Окт '13 18:27)
falcao
В младших классах, в принципе можно не доказывать, а просто убедиться, что $%x_n=\frac1n.$%(Это называется неполная индукция.)
(24 Окт '13 18:47)
ASailyan
Огромнейшее спааасибо!
(24 Окт '13 20:41)
topmag
|