$%x_{n} = \frac{ x_{n-1} }{1+ x_{n-1} }$%, где $%x_{1} =1$%. Найти $%x_{2013}$% ;) подскажите, пожалуйста, как решать на последовательности?

задан 24 Окт '13 8:48

изменен 24 Окт '13 23:54

falcao's gravatar image


214k1742

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%x_1=1,x_2=\frac{x_1}{1+x_1}=\frac12,x_3=\frac{x_2}{1+x_2}=\frac13,...$%

По методу мат. индукции докажем ,что $%x_n=\frac1n.$%

$%x_1=1=\frac11.$% Допустим при $%n=k,$% формула правильна- $%x_k=\frac1k,$% докажем, что формула правильна, при $%n=k+1.$%

$%x_{k+1}=\frac{x_k}{1+x_k}=\frac{\frac1k}{1+\frac1k}=\frac{\frac1k}{\frac{k+1}k}=\frac1{k+1}.$% И так согласно приципу мат. индукции формула верна для каждого члена последовадельности.Значит $% x_{2013}=\frac1{2013}.$%

ссылка

отвечен 24 Окт '13 10:28

изменен 24 Окт '13 18:48

Извините, но дело в том, что я в 8 классе и еще не знакома с мат.индукцией. Можно ли решить другим способом?

(24 Окт '13 18:17) topmag

@topmag: можно рассмотреть последовательность из обратных величин: $%y_n=1/x_n$%. Тогда $%y_1=1$%, и $%y_n=(1+x_{n-1})/x_{n-1}=1/x_{n-1}+1=y_{n-1}+1$%. То есть к каждому следующему "игреку" прибавляется единица. Ясно, что $%y_n=n$% для всех $%n$%. Строгое математическое доказательство и здесь основано на индукции, но в таком виде всё как бы понятно, и на принцип можно не ссылаться.

(24 Окт '13 18:27) falcao

В младших классах, в принципе можно не доказывать, а просто убедиться, что $%x_n=\frac1n.$%(Это называется неполная индукция.)

(24 Окт '13 18:47) ASailyan

Огромнейшее спааасибо!

(24 Окт '13 20:41) topmag
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×86

задан
24 Окт '13 8:48

показан
362 раза

обновлен
24 Окт '13 23:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru