|
Пусть $%n$% - это положительное целое число. Королевство Кординия представляет собой выпуклый многоугольник с целыми сторонами, периметром $%6n$% и симметрией вращения $%60^{\circ}$% (то есть существует точка $%O$%, такая, что поворот на $%60^{\circ}$% вокруг $%O$% сопоставляет многоугольник самому себе). В свете пандемии правительство Кординии хотело бы переместить своих $%3n^2+3n+1$% граждан так, чтобы каждые два гражданина находились на расстоянии не менее $%1$% для надлежащего социального дистанцирования. Докажите, что это возможно. (Предполагается, что королевство имеет свои границы.) задан 4 Ноя '21 10:00 
Rene |
|
Простенькая вроде задачка. Условие как я понимаю говорит, что Кардиния содержится в правильном шестиугольнике со стороной n. Далее расставляем граждан в узлах треугольной сетки (треугольнички со стороной 1). Получается ((п+1)(п+2)/2)х6-6п-5=3пхп+3п+1. отвечен 5 Ноя '21 12:01 
mihailm У меня по расположению граждан идея такая же. Но условию задачи удовлетворяет не только правильный шестиугольник, но и правильный 12-угольник, 18-угольник, могут быть и неправильными. В этом случае сторона правильного шестиугольника будет меньше $%n$%.
(5 Ноя '21 12:27)
Rams
Я не говорю что Кардиния правильный шестиугольник, мое утверждение, что Кардиния содержится в правильном шестиугольнике со стороной п.
(5 Ноя '21 12:31)
mihailm
1
@mihailm, Кардиния содержится в правильном шестиугольнике - вроде бы "-ся" лишнее...
(6 Ноя '21 0:27)
all_exist
Ну да содержит конечно))
(6 Ноя '21 0:47)
mihailm
|
|
@Rene Я вот не видел Ваш последний комментарий. Только вчера ночью случайно заметил и хотел ответит, но обнаружил у себя ошибку. Идея была такая: Возьмем какой-нибудь правильный $%6n-$%угольник и разделим на 6 равных частей. Соединяя самые крайние точки каждой части, получим правильный шестиугольник. В каждой части чуть изменим положение одной вершины /совпадающие вершины при повороте на $%60^{0}$% (красные вершины на рисунке)/. Этот многоугольник удовлетворяет условию задачи. При большом $%n$% периметр многоугольника стремится к длине описанной окружности (около шестиугольника и многоугольника). Если длина правильного шестиугольника равно $%m$%, тогда $% 2 \pi m \longrightarrow 6n; \ \ m \longrightarrow \frac{6n}{2 \pi } = \frac{3n}{ \pi } ; $% Поэтому могу дать только минимальную оценку: $%3[m]^{2}+3[m]+1$%, где $%m=\frac{3n}{ \pi } $%. А в эти сегменты сколько можно расположить людей мне пока неизвестно.
отвечен 15 Ноя '21 8:15 
Rams |
Выглядит интересно, и современно!
У меня получилось такая оценка /если условие задачи понял правильно/: $% \large \frac{54}{ \pi ^{2} } \cdot n^{2}- \frac{18}{ \pi} \cdot n-5 $% или самая минимальная $% \large 6 \big( \frac{3n}{\pi} -1 \big) ^{2} - 6 \big( \frac{3n}{ \pi } -1 \big) -5 $% , при больших (даже начиная с $% n \geq 8 $%) больше чем $% 3n^2+3n+1 $%. Но некоторые геометрические моменты взял без доказательств, т.к. думал очевидным фактом.
@Rams Можете уточнить вашу оценку? Вы хотите сказать, что можете вместить хотя бы такое количество или самое большее количество людей?