$$y'' - 2y'=2 - 5x^2$$

задан 15 Дек '11 22:35

изменен 15 Дек '11 22:47

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

1

Предлагаю заменить производную y на функцию z (y будет равно интегралу от z), тогда уравнение будет 1-ого порядка и решать его нужно будет, как уравнение вида Бернулли. Найти z, а потом y. Я попробовал прорешать, но у меня ничего хорошего не получилось: получисля неберущийся интеграл (по крайней мере я не знаю как его взять). Может я неправильно мыслил...

(16 Дек '11 9:59) DelphiM0ZG
10|600 символов нужно символов осталось
1

Идея @DelphiM0ZG верна. Введем подстановку $%z(x) = y'(x)$%, тогда $%z' - 2z = 2 - 5x^2$%. Пусть $%z(x) = u(x)v(x)$%, тогда $%v'+v=0,u'v=2 - 5x^2$%. Откуда

$$\int \frac{dv}{v}=-\int dx,lnv=-x+C_1, v=e^{-x+C_1}$$ $$\int dv=\int e^{x-C_1}(2-5x^2)dx,v=2e^{x-C_1}-5e^{x-C_1}(x^2 - 2x + 2) + C_2$$

Теперь

$$\int dy=\int e^{-x+C_1}\left(2e^{x-C_1}-5e^{x-C_1}(x^2 - 2x + 2) + C_2\right)dx$$

Взятие этого интеграла - Вам в качестве упражнения (берется по частям). :)

ссылка

отвечен 16 Дек '11 10:46

изменен 16 Дек '11 10:49

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

1

Ход рассуждений верный, но здесь неточность:

$$v'+v=0,u'v=2 - 5x^2$$

должно быть

$$v'-2v=0,u'v=2 - 5x^2$$

Поэтому итоговый интеграл будет другим. Сейчас получилось решение для уравнения

$$y'' + y'=2 - 5x^2$$

(16 Дек '11 11:04) frr
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×317
×19

задан
15 Дек '11 22:35

показан
817 раз

обновлен
16 Дек '11 11:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru