Биссектриса $%AD$% треугольника $%ABC$% делит сторону $%BC$% на отрезки $%BD=3 и DC=2$% Медиана $%BM$% пересекает биссектрису $%AD$% в точке $%O$%. Чему равно отношение $%BO:OD$%? Какую часть площади треугольника $%ABC$% составляет четырёхугольник $%MODC$%?

Помогите пожалуйста, чего только не делал, а на отношение выйти не могу, я обозначил стороны $%AB=3x;AC=2x$% из того, как биссектриса делит противолежащую сторону(ещё$%BO=3y;OM=y$%), но всё что я смог сделать это почти все отрезки выразить через $%x$%, подскажите как правильно решить?

задан 24 Окт '13 20:04

изменен 24 Окт '13 21:40

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если через точку $%M$% провести прямую, параллельную $%BC$%, пересекающую $%AD$% в точке $%K$%, то отрезок $%AD$% будет разделён этой точкой пополам. Сравнивая $%MK$% с $%CD$% в подобных треугольниках, имеем $%MK=1$%. Далее, рассматривая подобные треугольники $%OMK$% и $%OBD$%, получаем $%KO:OD=1:3$%. Тогда $%KO=t$%, $%OD=3t$%, $%AK=KD=4t$%, и отношение $%AO:OD$% равно $%5:3$%.

Далее обозначаем площадь всего треугольника через $%S$%, и последовательно находим площади таких треугольников как $%ABM$% (это $%S/2$%), $%ABD$%, $%ABO$% и $%AOM$%. В результате площадь четырёхугольника $%MODC$% выражается через $%S$%.

То, что $%AD$% является биссектрисой -- лишнее условие. Всё то же самое верно для любой другой линии. Важны здесь только отношения длин, на которые разбивается противолежащая сторона.

ссылка

отвечен 24 Окт '13 23:53

В задаче требуется найти $%BO:OD,$% а не $%AO:OD$%

(25 Окт '13 0:09) ASailyan

$%AO:OD$% я нашёл по теореме Менелая )

(25 Окт '13 15:35) Dragon65

@Dragon65: да, это достаточно универсальный способ. Правда, там одно из доказательств как раз и основано на проведении параллельных прямых и подсчёте отношений.

(25 Окт '13 15:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Эта задача уже была на форуме, но мы решили, что не имеет решений смотрите ссылку.

ссылка

отвечен 24 Окт '13 23:58

Точно! То-то мне эта задача что-то напоминала, но я не мог вспомнить, что именно. Вероятнее всего, там в формулировке вопроса была опечатка.

(25 Окт '13 0:23) falcao

Значит здесь тоже отпечатка? Скорее всего эти задачи из одной книги, а в книге какая-то отпечатка.

(25 Окт '13 0:40) ASailyan

Может быть, текст где-то в Сети был воспроизведён с опечаткой. Трудно сказать. Но я всё-таки думаю, там имелось в виду отношение $%AO:OD$%.

(25 Окт '13 3:02) falcao

Воот оно что, я тоже получил $%\frac{BO}{OD}= \sqrt{ \frac{7x^2+25}{3x^2-3} }$% только не смог проанализировать, а из-за чего это выражение зависит именно от 1 до 5? $%x \in (1;5)$%

И рассуждения, которые привел falcao(при устремлении угла $%A$% к 180 градусам) просто показывают аналогию, что и отношение BO к OD может быть сколь угодно разным?

(25 Окт '13 15:34) Dragon65

$%x\in(1;5)$% следует из треугольника $%ABC$% в силу неравенства треугольника $%BC<AB+BC$% и $%AB<BC+AC.$%

(25 Окт '13 15:52) ASailyan

Точно,спасибо

(25 Окт '13 15:58) Dragon65
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×606

задан
24 Окт '13 20:04

показан
811 раз

обновлен
25 Окт '13 15:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru