|
Биссектриса $%AD$% треугольника $%ABC$% делит сторону $%BC$% на отрезки $%BD=3 и DC=2$% Медиана $%BM$% пересекает биссектрису $%AD$% в точке $%O$%. Чему равно отношение $%BO:OD$%? Какую часть площади треугольника $%ABC$% составляет четырёхугольник $%MODC$%? Помогите пожалуйста, чего только не делал, а на отношение выйти не могу, я обозначил стороны $%AB=3x;AC=2x$% из того, как биссектриса делит противолежащую сторону(ещё$%BO=3y;OM=y$%), но всё что я смог сделать это почти все отрезки выразить через $%x$%, подскажите как правильно решить? задан 24 Окт '13 20:04 
Dragon65 |
|
Если через точку $%M$% провести прямую, параллельную $%BC$%, пересекающую $%AD$% в точке $%K$%, то отрезок $%AD$% будет разделён этой точкой пополам. Сравнивая $%MK$% с $%CD$% в подобных треугольниках, имеем $%MK=1$%. Далее, рассматривая подобные треугольники $%OMK$% и $%OBD$%, получаем $%KO:OD=1:3$%. Тогда $%KO=t$%, $%OD=3t$%, $%AK=KD=4t$%, и отношение $%AO:OD$% равно $%5:3$%. Далее обозначаем площадь всего треугольника через $%S$%, и последовательно находим площади таких треугольников как $%ABM$% (это $%S/2$%), $%ABD$%, $%ABO$% и $%AOM$%. В результате площадь четырёхугольника $%MODC$% выражается через $%S$%. То, что $%AD$% является биссектрисой -- лишнее условие. Всё то же самое верно для любой другой линии. Важны здесь только отношения длин, на которые разбивается противолежащая сторона. отвечен 24 Окт '13 23:53 
falcao В задаче требуется найти $%BO:OD,$% а не $%AO:OD$%
(25 Окт '13 0:09)
ASailyan
$%AO:OD$% я нашёл по теореме Менелая )
(25 Окт '13 15:35)
Dragon65
|
|
Эта задача уже была на форуме, но мы решили, что не имеет решений смотрите ссылку. отвечен 24 Окт '13 23:58 
ASailyan Точно! То-то мне эта задача что-то напоминала, но я не мог вспомнить, что именно. Вероятнее всего, там в формулировке вопроса была опечатка.
(25 Окт '13 0:23)
falcao
Значит здесь тоже отпечатка? Скорее всего эти задачи из одной книги, а в книге какая-то отпечатка.
(25 Окт '13 0:40)
ASailyan
Может быть, текст где-то в Сети был воспроизведён с опечаткой. Трудно сказать. Но я всё-таки думаю, там имелось в виду отношение $%AO:OD$%.
(25 Окт '13 3:02)
falcao
Воот оно что, я тоже получил $%\frac{BO}{OD}= \sqrt{ \frac{7x^2+25}{3x^2-3} }$% только не смог проанализировать, а из-за чего это выражение зависит именно от 1 до 5? $%x \in (1;5)$% И рассуждения, которые привел falcao(при устремлении угла $%A$% к 180 градусам) просто показывают аналогию, что и отношение BO к OD может быть сколь угодно разным?
(25 Окт '13 15:34)
Dragon65
$%x\in(1;5)$% следует из треугольника $%ABC$% в силу неравенства треугольника $%BC<AB+BC$% и $%AB<BC+AC.$%
(25 Окт '13 15:52)
ASailyan
Точно,спасибо
(25 Окт '13 15:58)
Dragon65
показано 5 из 6
показать еще 1
|