Неравенства с параметрами

Обозначим $%\sqrt{4x+a}=y \Leftrightarrow x=\frac{y^2-a}4, y\ge0.$% Неравненство примет вид :

$%\begin{cases}y^2-2y-(a+2)\le0 \\ y\ge0 \end{cases}$%. Дискриминант кв. трехчлена $%\frac D4=1+a+2=3+a.$%

• $%a+3<0\Leftrightarrow a<-3,$% первое неравенство системы не имеет решений, исходное уравнение тоже.
• $%a=-3, $% решение системы $%y=1,$% а исходного уравнения $%x=1$%.
• $%-3<a<-2$% корни кв. трехчлена $% y_1=1-\sqrt{a+3}, y_2=1+\sqrt{a+3}.$% Ясно что $%y_1<y_2,$% и $% y_2>0, y_1>0.$% Решение системы $%1-\sqrt{a+3}\le y \le 1+\sqrt{a+3},$% отсюда решение уравнения легко получить- $% x\in [\frac{2-\sqrt{a+3}}2; \frac{2+\sqrt{a+3}}2].$%
• $%a\ge -2,$% тогда $%y_1\le0, y_2>0.$% Решение системы $%0\le y \le 1+\sqrt{a+3},$% a решение уравнения - $% x\in [\frac{-a}4; \frac{2+\sqrt{a+3}}2].$%

Ответ. - $%\oslash,$% при $%a<-3$%

• $%1,$%, при $%a=-3$%

• $%[\frac{2-\sqrt{a+3}}2; \frac{2+\sqrt{a+3}}2]$%,при $%-3<а<-2$%

• $%[\frac{-a}4; \frac{2+\sqrt{a+3}}2]$%,при $%a\ge-2.$%

$%$%