|
Добрый день! Помогите, пожалуйста, справиться с такой задачей. Существуют ли такие бесконечные последовательности положительных чисел $${a_{1}\geq a_{2}\geq ...}$$ $${b_{1}\geq b_{2}\geq ...}$$ что, $$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}=\infty}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}=\infty}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}{min(a_{n}; b_{n})<\infty}$$ задан 10 Ноя '21 14:45 
Даниил_Y |
|
$$a_n=\dfrac{1}{2^2},1,\dfrac{1}{4^2},1,\dfrac{1}{6^2},1,\dfrac{1}{8^2},1,...$$$$b_n=1,\dfrac{1}{3^2},1,\dfrac{1}{5^2},1,\dfrac{1}{7^2},1,\dfrac{1}{9^2},1,...$$ Очевидно, что ряды из них расходятся (необходимый признак), а ряд минимумов сходится (ряд обратных квадратов). Превратим последовательности в невозрастающие, например, так: на место первой единицы в $%a_n$% поставим пять раз $%\dfrac{1}{5}$%. В то же время вместо $%\dfrac{1}{3^2}$% в $%b_n$% вставим пять раз $%\dfrac{1}{5\cdot3^2}$%. После этого на месте следующей единицы в $%b_n$% поставим $%\dfrac{1}{6\cdot3^2}$% (54 раза), а вместо $%\dfrac{1}{4^2}$% в $%a_n$% столько же раз напишем $%\dfrac{1}{54\cdot4^2}$%. И т.д. Полученные ряды расходятся по критерию Коши (т.к. сколь угодно далеко есть отрезки ряда с единичной суммой), а ряд из минимумов остался сходящимся, т.к. сходится ряд, полученных необходимой расстановкой скобок. отвечен 10 Ноя '21 15:30 
caterpillar Спасибо большое!
(10 Ноя '21 15:52)
Даниил_Y
|