Верно ли, что: (2*2009)/(1+(1/(1+2))+(1/(1+2+3))+...+(1/(1+2+3+...+2009))) = 2010

задан 25 Окт '13 22:26

изменен 25 Окт '13 22:30

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$\frac{2\cdot2009}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...2009}}=$$$$\frac{2\cdot2009}{\frac{2}{1\cdot2}+\frac{2}{2\cdot3}+\frac{2}{3\cdot4}+...+\frac{2}{2009\cdot2010}}=\frac{2009}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}}=2010-$$ верно.

ссылка

отвечен 25 Окт '13 22:43

Восхищаюсь Вами! Всегда.

(25 Окт '13 22:57) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку $%1+2+\cdots+k=k(k+1)/2$%, обратная величина равна $%\frac2{k(k+1)}$%. Её же можно записать как $%2(\frac1k-\frac1{k+1})$%. Знаменатель дроби из условия равен сумме всех таких величин по $%k$% от $%1$% до $%n$%. Тогда все числа в середине при суммировании сокращаются: $$2\left(\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\right),$$ и получается $%2n/(n+1)$%. Если числитель $%2n$% поделить на эту величину, то будет $%n+1$%. При $%n=2009$% это даёт то, что у Вас написано.

ссылка

отвечен 25 Окт '13 22:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×496

задан
25 Окт '13 22:26

показан
573 раза

обновлен
25 Окт '13 22:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru