|
Верно ли, что: (2*2009)/(1+(1/(1+2))+(1/(1+2+3))+...+(1/(1+2+3+...+2009))) = 2010 задан 25 Окт '13 22:26 
parol |
|
$$\frac{2\cdot2009}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...2009}}=$$$$\frac{2\cdot2009}{\frac{2}{1\cdot2}+\frac{2}{2\cdot3}+\frac{2}{3\cdot4}+...+\frac{2}{2009\cdot2010}}=\frac{2009}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}}=2010-$$ верно. отвечен 25 Окт '13 22:43 
Anatoliy Восхищаюсь Вами! Всегда.
(25 Окт '13 22:57)
nikolaykruzh...
|
|
Поскольку $%1+2+\cdots+k=k(k+1)/2$%, обратная величина равна $%\frac2{k(k+1)}$%. Её же можно записать как $%2(\frac1k-\frac1{k+1})$%. Знаменатель дроби из условия равен сумме всех таких величин по $%k$% от $%1$% до $%n$%. Тогда все числа в середине при суммировании сокращаются: $$2\left(\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\right),$$ и получается $%2n/(n+1)$%. Если числитель $%2n$% поделить на эту величину, то будет $%n+1$%. При $%n=2009$% это даёт то, что у Вас написано. отвечен 25 Окт '13 22:52 
falcao |