0
1

В треугольной пирамиде AKLM выполнено AK = AL = AM, KL = LM = MK, $$ tg(\angle AKM) = \frac{7}{\sqrt{3}} $$ Сфера радиуса $$ 2 \sqrt{3} $$ касается луча LA, касается плоскости AKM и касается плоскости KLM в точке, лежащей на луче LM. Найти наибольшее возможное значение длины отрезка LM.

Есть идеи как решать координатами, но получается сложновато. Может я что-то делаю не так? Хочу решение :]

задан 25 Окт '13 23:23

изменен 25 Окт '13 23:25

Вот тут есть решение этой задачи. Надо потом будет попробовать решить её каким-нибудь другим способом, хотя я не уверен, что получится принципиально проще. В условиях "реального времени" я бы, наверное, решал через координаты из соображений быстроты.

(25 Окт '13 23:45) falcao

спасибо. Когда гуглил не нашлось

(26 Окт '13 0:05) algogol

Я "гуглил" по фразе, начиная со слов "касается луча". Было опасение, что по самому началу текста ссылки будет неподходящие. И даже здесь мне были выданы ссылки на известную авиакомпанию :)

Сейчас попробую координатным способом решить. Интересно, получится ли сделать это быстро?

(26 Окт '13 0:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Запишу всё-таки решение координатным способом -- чисто для сравнения. Вычисления тут не слишком сложные, хотя ответ в любом случае получается "некрасивый".

Пусть $%a$% -- длина стороны основания. Тангенс угла тут подобран так, что высота пирамиды оказывается по длине вдвое больше основания: она равна $%2a$%. Выберем начало координат в точке $%L(0,0,0)$% и направим ось абсцисс по лучу $%LM$%. При этом $%M(a;0;0)$%, а другие оси выбираем так, что $%K(a/2;a\sqrt3/2;0)$% и $%A(a/2;a\sqrt3/6;2a)$%. Пусть сфера радиуса $%r=2\sqrt3$% касается луча $%LM$% в точке с абсциссой $%x_0$%. Тогда её центр равен $%O(x_0;0;r)$%.

Параметрическое уравнение луча $%LA$% имеет вид $%t(3;\sqrt3;12)$% ($%t\ge0$%). Квадрат расстояния от точки луча до точки $%O$% равен $%(3t-x_0)^2+(\sqrt3t)^2+(12t-r)^2$%, и в точке минимума производная должна быть равна нулю, что приводит к уравнению $%3(3t-x_0)+3t^2+12(12t-r)=0$%, то есть $%156t=3x_0+12r$%. Это значит, что $%52t=x_0+4r$%. С другой стороны, квадрат расстояния здесь равен $%r^2=12$%, откуда $%9t^2-6tx_0+x_0^2+3t^2+144t^2-24tr=0$%. Упрощая, имеем $%156t^2=6tx_0-x_0^2+24tr$%. Поскольку из первого уравнения $%156t^2=3tx_0+12tr$%, преобразование левой части даёт $%3tx_0+12tr=6tx_0-x_0^2+24tr$%, то есть $%3tx_0+12tr=x_0^2$%. Левая часть здесь равна $%3t(x_0+4r)=156t^2$%, и это $%x_0^2$%. Следовательно, $%x_0=2\sqrt{39}t$% (с учётом неотрицательности чисел). Выражая $%t$% через $%x_0$% и подставляя в уравнение $%52t=x_0+4r$%, мы находим $$x_0=\frac{24(2\sqrt{13}+\sqrt3)}{49}.$$ То есть координаты центра сферы мы теперь знаем.

Осталось учесть условие, что сфера касается плоскости $%AKM$%. Зная координаты точек, нетрудно составить уравнение плоскости: $%6x+2\sqrt3y+z=6a$%. Вектор нормали к плоскости имеет вид $%(6;2\sqrt{3};1)$%, и его длина равна $%7$%. Разделив на $%7$% и умножив на $%r=2\sqrt{3}$%, получаем вектор нормали $%(12\sqrt{3};12;2\sqrt{3})/7$%, длина которого равна $%r$%. Прибавляя такой вектор со знаком $%\pm1$% к точке $%O$%, мы получим координаты точки касания сферы и плоскости. Получится точка $%(x_0;0;2\sqrt3)\pm\frac17(12\sqrt3;12;2\sqrt3)$%, её координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Это значит, что $%6x_0+2\sqrt3\pm\frac17(72\sqrt3+24\sqrt3+2\sqrt3)=6a$%. Если взять знак минус, то получится значение $%a=x_0-2\sqrt3$%. Это наименьшее значение $%a$% из решения по ссылке: $$a=\frac{48\sqrt{13}-74\sqrt3}{49}.$$ Однако здесь в вопросе говорится о наибольшем значении для $%a$%, и оно получается тогда, когда берётся знак "плюс". При этом $%a=x_0+8\sqrt3/3$%, то есть $$a=\frac{16(8\sqrt{13}+29\sqrt3)}{147}.$$

Заметим, что в решении по ссылке наибольшее значение находится "по аналогии", но вычисление там не приведено, и ответ на самом деле получается несколько другой.

ссылка

отвечен 27 Окт '13 2:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим базовую задачу: Два подобных и параллельных треугольника расположены так, что пара соответствующих катетов лежат в некоторой плоскости, а вторая пара перпендикулярна этой плоскости. Найти расстояние между гипотенузами этих треугольников, если известны величины острых углов, лежащих в плоскости, расстояние между их вершинами, а также расстояние между плоскостями треугольников.

Решение: На рисунке два треугольника $%LAO$% и $%RQO_2$%, указанных в условии задачи, $%SR$% - общий перпендикуляр этих плоскостей, $%FR$% - общий перпендикуляр гипотенуз. Ответ: $%FR=\sqrt{LR^2\cdot \sin^2\angle ALO+SR^2\cdot \cos^2\angle ALO}.$%

alt text

Используя базовую задачу, несложно решить и эту задачу. Думаю, что все ясно из рисунка (через $%a$% обозначена сторона основания правильной пирамиды $%ALKM.$%

alt text

Замечание. На рисунке указано одно из возможных расположений центра $%Q$% - вписанной сферы. Центр сферы также может находиться "за пирамидой".

ссылка

отвечен 27 Окт '13 14:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×448

задан
25 Окт '13 23:23

показан
924 раза

обновлен
27 Окт '13 14:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru