Показать, что в случае, когда у определителя n-го порядка на пересечении p строк и q столбцов стоят нули, причем p + q > n, определитель равен нулю.

задан 16 Ноя '21 19:04

Теорему Лапласа нужно применить к строкам (которых р) или к столбцам (которых q)

(16 Ноя '21 19:23) mihailm
10|600 символов нужно символов осталось
0

перестановкой строк и столбцов можно получить определитель вида $$ \begin{vmatrix} A & B \\ C & 0 \end{vmatrix} $$ где блоки матрицы имеют следующие размеры: $%A\;-\;(n-p)\times (n-q)$%, $%B\;-\;(n-p)\times q$% и $%C\;-\;p\times (n-q)$%...

при условии $%p+q > n$% получаем, что $%n-q < (p+q)-qp = p$%, то есть в матрице $%C$% столбцов меньше чем строк... следовательно, приводя её к ступенчатому виду, получим в исходной матрице как минимум одну полностью нулевую строку... таким образом, определитель исходной матрицы равен нулю...

ссылка

отвечен 16 Ноя '21 21:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь достаточно опираться на определение детерминанта. Напомним, что "молнией" называется набор из n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Определитель есть сумма произведений этих наборов, взятых со знаком "+" или "-". Выбор знака здесь не важен, так как все "молнии" окажутся нулевыми.

Выделим p строк и q столбцов. Если мы берём в "молнию" элемент на пересечении строки и столбца, то произведение даёт 0. Если мы этого пытается избежать, то в каждой из p строк мы берём по одному элементу из оставшихся n-q столбцов. По условию, их число строго меньше p. Но тогда по принципу Дирихле, номера столбцов повторяются, чего в "молнии" быть не может.

ссылка

отвечен 16 Ноя '21 21:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,186
×468
×114

задан
16 Ноя '21 19:04

показан
177 раз

обновлен
16 Ноя '21 21:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru