|
$$(4-\sqrt15)*(4+\sqrt15)=1$$ откуда если $%(4-\sqrt15)^x=t$%, то $%(4+\sqrt15)^x=\frac{1}{t}$%, $$t+\frac{1}{t}=8,\frac{t^2-8t+1}{t}=0, t^2-8t+1=0,t=4\pm\sqrt15$$ откуда $%x=\pm1$% отвечен 16 Дек '11 13:40 
Occama |
|
Предполагаю, что решение Occama можно изложить следующим образом: $%\begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ \mathrm{True} \end {cases}$% $% \Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ (4 + \sqrt{15}) \cdot (4 - \sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 1 \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ ((4 + \sqrt{15}) \cdot (4 - \sqrt{15}))^x = 1^x \end {cases}$% $% \Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ (4 + \sqrt{15})^x \cdot (4 - \sqrt{15})^x = 1^x \\ \mathrm{True} \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ (4 + \sqrt{15})^x \cdot (4 - \sqrt{15})^x = 1 \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$% $% \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ t \cdot (4 - \sqrt{15})^x = 1 \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases} $% $% \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t + \frac{1}{t} = 8 \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 - \sqrt{15} \ \ \vee \ \ t = 4 + \sqrt{15} \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$% $%\Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 - \sqrt{15} \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases} \ \ \vee \ \ \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 + \sqrt{15} \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$% $%\Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 - \sqrt{15} \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \end {cases} \ \ \vee \ \ \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 + \sqrt{15} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$% $%\Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 - \sqrt{15})^x = (4 - \sqrt{15})^{-1} \end {cases} \ \ \vee \ \ \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^1 = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$% $% \Rightarrow x = -1 \ \vee \ x = 1 \Leftrightarrow x \in \{-1, \ 1\}$% отвечен 8 Сен '12 12:13 
Галактион |