$$(4 + \sqrt 15)^x + (4 - \sqrt 15)^x = 8$$

задан 15 Дек '11 22:45

изменен 7 Сен '12 22:53

DocentI's gravatar image


9.8k938

10|600 символов нужно символов осталось
4

$$(4-\sqrt15)*(4+\sqrt15)=1$$

откуда если $%(4-\sqrt15)^x=t$%, то $%(4+\sqrt15)^x=\frac{1}{t}$%,

$$t+\frac{1}{t}=8,\frac{t^2-8t+1}{t}=0, t^2-8t+1=0,t=4\pm\sqrt15$$

откуда $%x=\pm1$%

ссылка

отвечен 16 Дек '11 13:40

изменен 16 Дек '11 16:20

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

Предполагаю, что решение Occama можно изложить следующим образом:

$%\begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ \mathrm{True} \end {cases}$%

$% \Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ (4 + \sqrt{15}) \cdot (4 - \sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 1 \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ ((4 + \sqrt{15}) \cdot (4 - \sqrt{15}))^x = 1^x \end {cases}$%

$% \Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ (4 + \sqrt{15})^x \cdot (4 - \sqrt{15})^x = 1^x \\ \mathrm{True} \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ (4 + \sqrt{15})^x \cdot (4 - \sqrt{15})^x = 1 \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$%

$% \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ t \cdot (4 - \sqrt{15})^x = 1 \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^x + (4 - \sqrt{15})^x = 8 \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases} $%

$% \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t + \frac{1}{t} = 8 \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 - \sqrt{15} \ \ \vee \ \ t = 4 + \sqrt{15} \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$%

$%\Leftrightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 - \sqrt{15} \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases} \ \ \vee \ \ \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 + \sqrt{15} \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$%

$%\Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 - \sqrt{15} \\ (4 - \sqrt{15})^x = \frac{1}{t} \end {cases} \ \ \vee \ \ \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ t = 4 + \sqrt{15} \\ t = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$%

$%\Rightarrow \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 - \sqrt{15})^x = (4 - \sqrt{15})^{-1} \end {cases} \ \ \vee \ \ \begin {cases} x \in \mathbb{R} \\ (4 + \sqrt{15})^1 = (4 + \sqrt{15})^x \end {cases}$%

$% \Rightarrow x = -1 \ \vee \ x = 1 \Leftrightarrow x \in \{-1, \ 1\}$%

ссылка

отвечен 8 Сен '12 12:13

изменен 8 Сен '12 13:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,799
×778

задан
15 Дек '11 22:45

показан
1638 раз

обновлен
8 Сен '12 13:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru