Помогите найти производную n-го порядка $%x/(1+x^2)$%

задан 27 Окт '13 11:41

изменен 28 Окт '13 22:07

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Формула для $%n$%-й производной здесь имеет вид $$(-1)^nn!\frac{P_n(x)}{(1+x^2)^{n+1}},$$ где $$P_n(x)=C_{n+1}^0x^{n+1}-C_{n+1}^2x^{n-1}+\cdots+(-1)^kC_{n+1}^{2k}x^{n+1-2k}+\cdots.$$ Доказать это можно методом математической индукции.

Есть и другой подход, с использованием комплексных чисел. Поскольку $%(x^2+1)=(x+i)(x-i)$%, дробь $%x/(1+x^2)$% можно представить в виде такой суммы: $$\frac{x}{1+x^2}=\frac12\left(\frac1{x+i}+\frac1{x-i}\right).$$ У функции вида $%(x+a)^{-1}$%, где $%a$% -- произвольное комплексное число, $%n$%-я производная находится просто. Она равна $%(-1)^nn!(x+a)^{-(n+1)}$%. Остаётся взять полусумму таких выражений для $%a=i$% и $%a=-i$% и привести к общему знаменателю.

ссылка

отвечен 27 Окт '13 13:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×266

задан
27 Окт '13 11:41

показан
880 раз

обновлен
27 Окт '13 13:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru