Помогите, пожалуйста, вычислить определенный интеграл от 0 до 1 с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно. f(x)=cos(корень из x).

задан 27 Окт '13 18:14

изменен 28 Окт '13 22:06

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Разложение косинуса в ряд в окрестности нуля имеет вид $$\cos t=1-\frac{t^2}2!+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}-\cdots.$$ Тогда при $%x\ge0$% $$\cos\sqrt{x}=1-\frac{x}2+\frac{x^2}{24}-\theta(x),$$ где $%\theta(x)$% представляет собой сумму знакочередующегося ряда вида $%a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots$%, где $%a_1 > a_2 > \cdots$%. Такая сумма всегда положительна, и она меньше первого члена. Следовательно, при замене подынтегральной функции на $%1-\frac{x}2+\frac{x^2}{24}$% происходит ошибка округления, по модулю не превосходящая $%x^3/720$%. При интегрировании в пределах от $%0$% до $%1$% погрешность не превзойдёт $%\frac1{4\cdot720}$%, что меньше $%0,001$%. (Число $%4$% в знаменателе появляется за счёт того, что первообразная функции $%x^3$% равна $%x^4/4$%.)

Остаётся найти интеграл $$\int\limits_0^1\left(1-\frac{x}2+\frac{x^2}{24}\right)dx$$ обычным способом, и это даст искомое приближение.

ссылка

отвечен 27 Окт '13 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265
×758

задан
27 Окт '13 18:14

показан
5660 раз

обновлен
27 Окт '13 18:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru