Здравствуйте!

Какой алгоритм решения задания:

$$ \sqrt[6]{z+1} < \sqrt[8]{6-z}$$ Какие свойства нужно знать при решение таких заданий?

Спасибо.

задан 27 Окт '13 20:30

изменен 28 Окт '13 22:03

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Неравенство можно возвести в $%24$%-ю степень. Получится $%(z-1)^4 < (6-z)^3$%. При этом также должно быть $%z-1\ge0$%, $%6-z\ge0$%, и при наличии этих неравенств возможен обратный переход.

При этом, правда, возникает неравенство $%z^4-3z^3-12z^2+104z-215 < 0$%, которое надо решить на отрезке $%z\in[1;6]$%. К сожалению, корни такого уравнения иррациональны, и их можно найти либо приближённо, либо при помощи очень громоздких выражений. Последнее вряд ли имелось в виду. Может быть, тут какая-то опечатка в условии?

ссылка

отвечен 27 Окт '13 21:52

Извините, допустил опечатку. А по какому правилу мы возводим в 24 степень?

(28 Окт '13 15:28) ВладиславМСК

При замене $%z-1$% на $%z+1$% получается другое уравнение 4-й степени, но оно тоже "нерешабельное". Возводить неравенство в степень можно по свойствам неравенств. Если $%a < b$%, и оба числа неотрицательны, то перемножим почленно 24 таких одинаковых неравенства. А можно воспользоваться свойством возрастания степенной функции $%y=x^{24}$% на неотрицательной полуоси.

(28 Окт '13 15:47) falcao

Хм, в книге ответ 0, и -1, и +1.

(28 Окт '13 15:57) ВладиславМСК

Может, из-затоого, что там просят найти все целочесленные решения?

(28 Окт '13 15:58) ВладиславМСК

Вот, теперь всё прояснилось! Конечно, для целочисленного случая всё просто. С учётом $%z\le6$%, достаточно проверить лишь конечное число случаев. В принципе, даже это излишне, так как $%3^4 > 4^3$%, и с увеличением $%z$% первое число увеличивается, а второе уменьшается.

(28 Окт '13 16:08) falcao

Точно! Это получается можно просто методом перебора решить?

(28 Окт '13 16:10) ВладиславМСК

Да, именно так: в области определения содержится совсем немного целых чисел. А дальше справедливость каждого из неравенств с корнями проверяется возведением в подходящую степень (что всегда возможно).

(28 Окт '13 16:21) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$ \sqrt[6]{z-1} < \sqrt[8]{6-z}\Leftrightarrow \begin{cases}z\in[1;6],\\\sqrt[24]{(z-1)^4}<\sqrt[24]{(6-z)^3}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}z\in[1;6],\\(z-1)^4<(6-z)^3...\end{cases}$$

ссылка

отвечен 27 Окт '13 22:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×363

задан
27 Окт '13 20:30

показан
1440 раз

обновлен
28 Окт '13 16:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru