|
Здравствуйте! Какой алгоритм решения задания: $$ \sqrt[6]{z+1} < \sqrt[8]{6-z}$$ Какие свойства нужно знать при решение таких заданий? Спасибо. задан 27 Окт '13 20:30 
ВладиславМСК |
|
Неравенство можно возвести в $%24$%-ю степень. Получится $%(z-1)^4 < (6-z)^3$%. При этом также должно быть $%z-1\ge0$%, $%6-z\ge0$%, и при наличии этих неравенств возможен обратный переход. При этом, правда, возникает неравенство $%z^4-3z^3-12z^2+104z-215 < 0$%, которое надо решить на отрезке $%z\in[1;6]$%. К сожалению, корни такого уравнения иррациональны, и их можно найти либо приближённо, либо при помощи очень громоздких выражений. Последнее вряд ли имелось в виду. Может быть, тут какая-то опечатка в условии? отвечен 27 Окт '13 21:52 
falcao Извините, допустил опечатку. А по какому правилу мы возводим в 24 степень?
(28 Окт '13 15:28)
ВладиславМСК
При замене $%z-1$% на $%z+1$% получается другое уравнение 4-й степени, но оно тоже "нерешабельное". Возводить неравенство в степень можно по свойствам неравенств. Если $%a < b$%, и оба числа неотрицательны, то перемножим почленно 24 таких одинаковых неравенства. А можно воспользоваться свойством возрастания степенной функции $%y=x^{24}$% на неотрицательной полуоси.
(28 Окт '13 15:47)
falcao
Хм, в книге ответ 0, и -1, и +1.
(28 Окт '13 15:57)
ВладиславМСК
Может, из-затоого, что там просят найти все целочесленные решения?
(28 Окт '13 15:58)
ВладиславМСК
Вот, теперь всё прояснилось! Конечно, для целочисленного случая всё просто. С учётом $%z\le6$%, достаточно проверить лишь конечное число случаев. В принципе, даже это излишне, так как $%3^4 > 4^3$%, и с увеличением $%z$% первое число увеличивается, а второе уменьшается.
(28 Окт '13 16:08)
falcao
Точно! Это получается можно просто методом перебора решить?
(28 Окт '13 16:10)
ВладиславМСК
Да, именно так: в области определения содержится совсем немного целых чисел. А дальше справедливость каждого из неравенств с корнями проверяется возведением в подходящую степень (что всегда возможно).
(28 Окт '13 16:21)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|
