откуда берутся красивые тождества для тройных(5, 7) углов. Вот тут на википедии в самом конце: тригонометрические тождества

Знаю что это работает и для косинусов и для синусов, да и доказать можно. Но как это выводится? Есть подозрение что это работает для любых аргументов с нечетным коэффициентом, какая тогда общая формула?

P.S. В школе нам этого не давали, может есть еще что-нибудь красивое, что нам не давали? :]

После некоторых намеков на формулу Эйлера: $$ e^{3\alpha} e^{\alpha - \pi/3} e^{\alpha + \pi / 3} = (cos\alpha + i sin\alpha) *(cos(\alpha - pi/3) + i sin(\alpha - pi/3)) * (cos(\alpha + pi / 3) + i sin(\alpha + pi/3)) = ... $$

Научите меня расскрывать скобки :]

(в общем виде вообще стремно)

задан 28 Окт '13 12:07

изменен 28 Окт '13 19:05

1

Тригонометрических тождеств очень много, и принципы доказательства там могут быть совершенно разные. Среди таких тождеств иной раз может встретиться что-то достаточно нетривиальное. В школе, как правило, даются только самые основы. При доказательстве некоторых тождеств могут использоваться также комплексные числа. Один из методов такой: рассматривается многочлен, корни которого известны (типа $%z^n-1$%); он раскладывается на линейные множители с комплексными корнями, и далее применяется теорема Виета. После перехода к действительным или мнимым частям возникают тождества.

(28 Окт '13 17:49) falcao

хм, это как-то через формулу Эйлера делается?

(28 Окт '13 17:53) algogol

Да, корни там имеют вид $%\exp(2\pi ki/n)=\cos2\pi k/n+i\sin2\pi k/n$%.

(28 Окт '13 18:15) falcao
1

Правила раскрытия скобок здесь те же, что и обычно. Но не факт, что в результате получится что-то простое. Здесь можно применять очень много соображений, и в качестве одного из примеров можно указать такой. Допустим, надо просуммировать $$\cos x+\cos2x+\cdots+\cos nx.$$ Один из способов (он не единственный): представить сумму как вещественную часть геометрической прогрессии $$\exp(ix)+\exp(2ix)+\cdots+\exp(inx),$$ просуммировать по формуле, а потом выделить вещественную часть.

(28 Окт '13 19:10) falcao

"Научите меня расскрывать скобки :]" - имелось в ввиду, что там все плохо перемножается(ну у меня по крайней мере...)

Здорово. Только к чему это? Мне вроде там складывать ничего не надо. Или я что-то упускаю?

(28 Окт '13 19:19) algogol

@algogol: я просто привёл один из примеров того, какими средствами можно доказывать те или иные тождества. В рассмотренном Вами примере (кстати, там везде надо добавить $%i$% в показателях), после раскрытия скобок получится какое-то равенство. Если ничего дополнительно не преобразовывать, то оно может иметь громоздкий вид. У Вас конечная цель в чём состоит в связи с этим перемножением?

(28 Окт '13 20:13) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×799

задан
28 Окт '13 12:07

показан
583 раза

обновлен
28 Окт '13 20:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru