|
откуда берутся красивые тождества для тройных(5, 7) углов. Вот тут на википедии в самом конце: тригонометрические тождества Знаю что это работает и для косинусов и для синусов, да и доказать можно. Но как это выводится? Есть подозрение что это работает для любых аргументов с нечетным коэффициентом, какая тогда общая формула? P.S. В школе нам этого не давали, может есть еще что-нибудь красивое, что нам не давали? :] После некоторых намеков на формулу Эйлера: $$ e^{3\alpha} e^{\alpha - \pi/3} e^{\alpha + \pi / 3} = (cos\alpha + i sin\alpha) *(cos(\alpha - pi/3) + i sin(\alpha - pi/3)) * (cos(\alpha + pi / 3) + i sin(\alpha + pi/3)) = ... $$ Научите меня расскрывать скобки :] (в общем виде вообще стремно) задан 28 Окт '13 12:07 
algogol
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
28 Окт '13 12:07
показан
969 раз
обновлен
28 Окт '13 20:13
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Тригонометрических тождеств очень много, и принципы доказательства там могут быть совершенно разные. Среди таких тождеств иной раз может встретиться что-то достаточно нетривиальное. В школе, как правило, даются только самые основы. При доказательстве некоторых тождеств могут использоваться также комплексные числа. Один из методов такой: рассматривается многочлен, корни которого известны (типа $%z^n-1$%); он раскладывается на линейные множители с комплексными корнями, и далее применяется теорема Виета. После перехода к действительным или мнимым частям возникают тождества.
хм, это как-то через формулу Эйлера делается?
Да, корни там имеют вид $%\exp(2\pi ki/n)=\cos2\pi k/n+i\sin2\pi k/n$%.
Правила раскрытия скобок здесь те же, что и обычно. Но не факт, что в результате получится что-то простое. Здесь можно применять очень много соображений, и в качестве одного из примеров можно указать такой. Допустим, надо просуммировать $$\cos x+\cos2x+\cdots+\cos nx.$$ Один из способов (он не единственный): представить сумму как вещественную часть геометрической прогрессии $$\exp(ix)+\exp(2ix)+\cdots+\exp(inx),$$ просуммировать по формуле, а потом выделить вещественную часть.
"Научите меня расскрывать скобки :]" - имелось в ввиду, что там все плохо перемножается(ну у меня по крайней мере...)
Здорово. Только к чему это? Мне вроде там складывать ничего не надо. Или я что-то упускаю?
@algogol: я просто привёл один из примеров того, какими средствами можно доказывать те или иные тождества. В рассмотренном Вами примере (кстати, там везде надо добавить $%i$% в показателях), после раскрытия скобок получится какое-то равенство. Если ничего дополнительно не преобразовывать, то оно может иметь громоздкий вид. У Вас конечная цель в чём состоит в связи с этим перемножением?