Ряд $%n \cdot tg^3(\frac{pi \cdot n}{2})$% от 0 до бесконечности. Сходится или расходится?

задан 28 Окт '13 14:43

изменен 28 Окт '13 22:05

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь $%n$% не может изменяться от нуля до бесконечности. При $%n=0$% возникает деление на ноль, а при $%n=1$% получается тангенс $%\pi/2$%.

Но если рассматривать этот ряд от $%n=2$% до бесконечности, то он сходится. Прежде всего, члены ряда здесь положительны, и можно опереться на признак подобия или признак сравнения. При $%x\to0$% справедливо соотношение $%{\mathop{\rm tg\ }}x\sim x$% (предел частного равен единице -- это следствие "первого замечательного предела"). Поэтому тангенсы можно убрать, и получится ряд с общим членом вида $%c/n^2$%, про который хорошо известно, что он сходится.

Если рассуждать более строго, то при $%n\ge2$% число $%\frac{\pi}{2n}$% не превосходит $%\pi/4$%, а потому его косинус больше либо равен $%1/\sqrt2$%. В свою очередь, синус числа $%x$%, принадлежащего интервалу $%(0;\pi/2)$%, меньше $%x$%. Отсюда вытекает неравенство $${\mathop{\rm tg\ }}x=\frac{\sin x}{\cos x} < \sqrt2x,$$ которое справедливо для всех углов вида $%x=\frac{\pi}{2n}$% при $%n\ge2$%. Следовательно, при тех же $%n$% для $%n$%-го члена ряда будет справедливо неравенство $$n{\mathop{\rm tg^3}}\frac{\pi}{2n} < \frac{\sqrt2\pi^3}{4n^2},$$ и по признаку сравнения ряд сходится.

ссылка

отвечен 28 Окт '13 15:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×550
×287

задан
28 Окт '13 14:43

показан
835 раз

обновлен
28 Окт '13 15:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru