|
Имеется следующее уравнение: $%(35-v)q^4-104q^3+114q^2-56q+11=0, v \geq 0$% Необходимо проверить следующее утверждение: все корни (включая комплексные) этого уравнения по модулю меньше единицы. Моя идея состоит в том, чтобы применив формулы Виета $%\left (q_1q_2q_3q_4=\frac{11}{35-v},q_1+q_2+q_3+q_4=\frac{104}{35-v}\right)$%, получить желаемое, однако из этого ничего не следует. Я нашёл дискриминант этого уравнения $%\Delta=256(1331v^4-46378v^3+3123v^2-362880v)<0$%, однако я не совсем понимаю, что из этого следует. Буду признателен за подсказку. задан 28 Окт '13 14:49 
MathTrbl |
|
Мне кажется, что при значениях $%v$%, близких к 35, это утверждение неверно. Можно для удобства сделать замену $%q$% на $%-q$%, чтобы минусы заменились на плюсы. Тогда у уравнений типа $%\pm10^{-10}q^4+104q^3+114q^2+56q+11=0$% появятся какие-то очень большие по модулю корни. Я проверил ещё численные решения для других значений $%v$%. При $%v=0$% корень равен 1, а при остальных значениях $%v < 35$% имеется вещественный корень, больший 1. Это, наверное, можно строго доказать аналитически, но Вас, как я понимаю, интересует только "устойчивый" случай. Добавление. Я здесь собирался применить метод Феррари, чтобы исследовать вопрос о модулях корней. Дело в том, что для квадратного трёхчлена $%x^2+px+q$% с вещественными коэффициентами условие $%|x_{1,2}| < 1$% в точности означает, что $%|p|-1 < q < 1$% (в частности, $%|p| < 2$%; корни могут быть вещественными или мнимыми). Для случая $%p,q\in{\mathbb C}$%, судя по всему, критерий тоже легко получить. С учётом этого, я хотел рассмотреть схему разложения многочлена четвёртой степени в произведение двух квадратных трёхчленов при помощи метода Феррари. Вычисления там довольно громоздкие, и надо рассматривать ещё и поведение корня вспомогательного кубического уравнения. Но в принципе такой подход позволяет что-то исследовать. Это добавление я сделал на всякий случай -- вдруг для какого-то другого случая оно пригодится. отвечен 28 Окт '13 17:00 
falcao Я тоже сперва хотел его применить, но не стал из-за громоздкости. Ваш ответ показывает, что схема абсолютно неустойчива. Спасибо.
(28 Окт '13 18:57)
MathTrbl
|
Значения $%v=35$% и $%v > 35$% тоже надо рассматривать?
Эта задача возникла в процессе изучения устойчивости разностной схемы. Несмотря на то, что параметр на самом деле ограничен и сверху, он может принимать в зависимости от коэффициентов основной задачи достаточно большие значения. Случай $%v=35$% я могу рассмотреть и сам, поскольку формула Кардано будет применима, а вот в остальных случаях не совсем понятно.
При $v=35$ все корни по модулю меньше единицы, я это уже проверил (численно), однако вы правы (при 35-v=0.1) один корень получается значительно больше единицы. Я просто надеялся на устойчивость схемы, т. к. я делал её чисто неявной. Спасибо за ответ (и переведите свой комментарий в ответ, пожалуйста)