Положительные вещественные числа $%x$% и $%y$% таковы, что $%[x]\big\{x\big\} [y]\big\{y\big\} =29$%. Какое наименьшее целое значение может принимать число $%x+y$%?

Как обычно, $%[x]$% означает целую часть числа $%x$%, а $%\big\{x\big\} $% - дробную.

задан 5 Дек '21 23:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если x+y целое, то {x}+{y} также целое. Ввиду неравенств 0 < {x},{y} < 1, это число равно 1. Пусть t={x}, тогда {y}=1-t, откуда {x}{y}=t(1-t)<=1/4. Следовательно, [x][y]>=116. Ввиду неравенства о среднем, (([x]+[y])/2)^2>=[x][y]>=116, то есть ([x]+[y])^2>=464, откуда [x]+[y]>=22. Тем самым, x+y>=23.

Полагая [x]=[y]=11, приходим к уравнению t(1-t)=29/121, корни которого равны (11+-sqrt(5))/22. Полагая x=11+(11-sqrt(5))/22, y=11+(11+sqrt(5))/22, получаем пример с суммой 23.

ссылка

отвечен 6 Дек '21 0:03

10|600 символов нужно символов осталось
0

У меня получилось другое (проверьте пожалуйста): $$x+y = ⌊x⌋+\{x\}+⌊y⌋+\{y\}.$$ Если $%x+y$% целое число, то $%\{x\}+\{y\}=1→\{y\}=1-\{x\}.$%

$$⌊x⌋\{x\}⌊y⌋\{y\} = 29$$ $$⌊x⌋\{x\}⌊y⌋(1-\{x\}) = 29$$ $$⌊x⌋⌊y⌋ \{x\} (1-\{x\}) = 29.$$

Наибольшее значение $%\{x\}(1-\{x\})$% с корнями $%0$% и $%1$% - это когда $%\{x\}=0.5$% (среднее арифметическое двух корней).

Наибольшее значение: $%\{x\}(1-\{x\}) = 0.25 = 1/4$%.

Тогда $%⌊x⌋⌊y⌋ = 4 · 29$%.

Пары делителей числа $%4·29$% следующие: $%(1, 4·29); (2, 2·29); (4,29);$%

И из этих пар наименьшая сумма - для $%(4, 29)$%.

Наименьшее целое значение $%x+y$%: $%⌊x⌋+\{x\}+⌊y⌋+\{y\}=33+1=34$%.

Возможные значения $%(x, y)$%: $%(4.5, 29.5)$% и $%(29.5, 4.5)$%.

ссылка

отвечен 6 Дек '21 1:13

изменен 6 Дек '21 1:17

2

@aalisa23: у Вас сумма x+y равна 34, в то время как можно сделать 23. То, что наименьшее значение [x]+[y] достигается при условии, когда обе дробные части равны 1/2, неверно. Величину {x}(1-{x}) выгоднее сделать чуть меньше. Тогда [x][y] слегка увеличится, но исчезнет простой множитель 29, за счёт чего сумму [x]+[y] станет возможным сделать равной 22.

(6 Дек '21 1:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,127

задан
5 Дек '21 23:38

показан
466 раз

обновлен
6 Дек '21 1:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru