Здравствуйте!

Как решить задачу:

В треугольнике abc медианы, проведенные к сторонам ac и bc пересекаются под прямым углом. Известно, что ac=b и bc=a по модулю. Найти длину стороны ab.

У меня ещё 12 задач подобных (на прямоугольные треугольники, такого же уровня сложности), не получается их решать.

Как решить эту задачу?

Какой момент я, скорее всего, упускаю из виду?

Спасибо.

задан 28 Окт '13 17:09

изменен 28 Окт '13 22:02

Deleted's gravatar image


126

Редакционное замечание: нужно различать большие и маленькие буквы в обозначениях -- в противном случае может возникнуть путаница. Здесь, как я понимаю, даны расстояния $%AC=b$% и $%BC=a$%, и надо найти длину стороны $%AB$%.

(28 Окт '13 17:22) falcao

Да, вы верно понимаете.

(28 Окт '13 17:23) ВладиславМСК
10|600 символов нужно символов осталось
3

медианы делятся точкой пересечения в отношении 2/1 считая от вершины + пифагор для всех образовавшихся прямоугольных треугольников.

Ну тогда вы все решили, остается: $$ 4x^2 + y^2 = (a/2)^2$$ $$4y^2 + x^2 = (b/2)^2$$ $$4x^2 + 4y^2 = AB^2$$ Далее просто выражаем AB Сложим два первых $$5(x^2 + y^2) = (a/2) ^2 + (b/2)^2;$$ $$4(x^2 + y^2) = AB^2;$$ Для удобства заменим $$t = x^2 + y^2;$$ получили $$5t = (a/2) ^2 + (b/2)^2;$$ $$4t = AB^2;$$ подставляем t из 1ого во 2ое $$AB^2 = ((a/2) ^2 + (b/2)^2) * 4 / 5 $$

ссылка

отвечен 28 Окт '13 17:15

изменен 28 Окт '13 18:17

@algogol, спасибо. Я это и так знал. Как это тут применить, я не понимаю.

(28 Окт '13 17:21) ВладиславМСК

ну одна медиана 3x, другая 3y. есть прямоугольные треугольники со сторонами (y, 2x, a/2), (2y, 2x, AB), (2y, x, b / 2). Запишите для них теорему Пифагора и найдите AB :]

(28 Окт '13 17:34) algogol

3x это у меня медиана к AC. 3y это медиана к BC

(28 Окт '13 17:36) algogol

Это я тоже сделал, только x,y принял другие медианы(т.е. Наоборот). Я всё это сделал, ещё до того, как написал сюда вопрос.

(28 Окт '13 18:03) ВладиславМСК

Ну тогда все :] дополнил ответ

(28 Окт '13 18:12) algogol

В конце можно сократить четвёрки, и ответ приобретает более простую форму.

(28 Окт '13 18:14) falcao

Блин, я даже не знал, что так можно. А что это за свойство/правило?

(28 Окт '13 18:26) ВладиславМСК

@ВладиславМСК: какое свойство Вы имеете в виду? Я говорил о том, что правая часть последнего из равенств равна $%\frac{a^2+b^2}5$%.

(28 Окт '13 18:40) falcao

это три теоремы Пифагора. Дальше просто система преобразуется :]

(28 Окт '13 19:08) algogol

Да я не про теорему пифагора, а про то, как вы совместили их.

(28 Окт '13 19:50) ВладиславМСК

@ВладиславМСК: там в уравнениях присутствует симметрия. Поэтому при сложении первых двух уравнений получается выражение с одинаковыми коэффициентами при $%x^2$% и $%y^2$%. А ответ выражается через $%x^2+y^2$%.

(28 Окт '13 20:09) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,595

задан
28 Окт '13 17:09

показан
1764 раза

обновлен
28 Окт '13 20:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru