Лист бумаги произвольной формы, произвольным образом раскрашен в 10 цветов, и разрезан на 10 частей(тоже произвольно). Докажите, что эти части всегда можно покрасить с другой стороны (каждую целиком в свой цвет, и в те же 10 цветов) так, что сумма площадей частей, покрашенных в один и тот цвет с обеих сторон не меньше 0.1 от площади всего листа.

задан 8 Дек '21 19:59

изменен 8 Дек '21 21:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

Вот решение для исправленной версии условия. Предыдущий текст я убрал.

Без ограничения общности будем считать площадь исходного листа единичной. Пусть A(i) -- множество точек, попавших в i-ю часть после разрезания, B(j) -- множество точек листа, окрашенных в j-й цвет (1<=i,j<=n). Через x(i,j) обозначим площадь пересечения A(i)nB(j). Получится матрица nxn с неотрицательными коэффициентами, сумма которых равна 1.

Разобьём матричные элементы на n "молний", то есть наборов из n элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах. Это делается многими способами, и можно предложить такой: в одну "молнию" попадают числа с заданным остатком от деления на n числа i+j.

Рассмотрим суммы элементов "молний". Это даёт n чисел, которые после сложения дают 1. Значит, хотя бы одно из чисел не меньше 1/n. Рассматриваем ту "молнию", которая дала эту сумму. Тогда, если она состоит из элементов вида x(i,j(i)), где j(1), ... , j(n) -- перестановка символов 1, 2, ... , n, то раскрашиваем i-ю часть на обороте в цвет с номером j(i).

ссылка

отвечен 8 Дек '21 21:00

изменен 9 Дек '21 13:14

Нет кусков , на которые разрезали лист, не может быть сколько угодно, так как цветов всего 10 и каждый кусок красится в один цвет, и разные куски красятся в разные цвета.

(8 Дек '21 21:36) Faminoz

Я заметил, что по ошибке пропустил частицу «не» перед словом «меньше» в вопросе задачи. Прошу прощения.

(8 Дек '21 21:38) Faminoz

@Faminoz: в той версии задачи, которая была в начале, можно брать сколько угодно частей, раскрашивая их как угодно. В том числе брать 10 частей и раскрашивать их в 10 цветов, используя каждый по разу. Но это всё звучало подозрительно просто.

Над исправленной версией условия надо подумать.

(8 Дек '21 23:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,544
×41

задан
8 Дек '21 19:59

показан
149 раз

обновлен
9 Дек '21 13:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru