комбинаторика - Докажите, что лист можно покрасить таким образом.

Вот решение для исправленной версии условия. Предыдущий текст я убрал.

Без ограничения общности будем считать площадь исходного листа единичной. Пусть A(i) -- множество точек, попавших в i-ю часть после разрезания, B(j) -- множество точек листа, окрашенных в j-й цвет (1<=i,j<=n). Через x(i,j) обозначим площадь пересечения A(i)nB(j). Получится матрица nxn с неотрицательными коэффициентами, сумма которых равна 1.

Разобьём матричные элементы на n "молний", то есть наборов из n элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах. Это делается многими способами, и можно предложить такой: в одну "молнию" попадают числа с заданным остатком от деления на n числа i+j.

Рассмотрим суммы элементов "молний". Это даёт n чисел, которые после сложения дают 1. Значит, хотя бы одно из чисел не меньше 1/n. Рассматриваем ту "молнию", которая дала эту сумму. Тогда, если она состоит из элементов вида x(i,j(i)), где j(1), ... , j(n) -- перестановка символов 1, 2, ... , n, то раскрашиваем i-ю часть на обороте в цвет с номером j(i).