ряды - Разложить функцию в ряд Тейлора

Функцию $%f(x)=\sin x\cos\frac{x}2$% можно представить в виде $$f(x)=\frac12\left(\sin\frac{3x}2+\sin\frac{x}2\right),$$ пользуясь тригонометрическими тождествами. Поскольку разложения синуса в ряд имеет место на всей вещественной оси: $$\sin t=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots,$$ это же самое будет иметь место для исследуемой функции. После замен $%t=3x/2$%, $%t=x/2$% и взятия полусуммы получится ряд $$f(x)=x-\frac7{24}x^3+\frac{61}{1920}x^5-\cdots+(-1)^n\frac{3^{2n+1}+1}{2^{2n+2}(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots,$$ сходящийся к функции всюду.