интеграл - Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y=1-x^2; x+y+z=3; y>=0; z>=0

Тело ограничено четырьмя поверхностями. Одна из них имеет уравнение $%z=0$%. Это плоскость $%Oxy$%. Всё остальное расположено выше неё (ввиду неравенства $%z\ge0$%). Поэтому посмотрим, каков самый "низ" тела. Это плоская фигура.

Рисунок на плоскости делается легко. Во-первых, есть верхняя полуплоскость, заданная уравнением $%y\ge0$%. Ось абсцисс, имеющая уравнение $%y=0$%, служит нижней границей фигуры. Сверху же фигура ограничена графиком параболы $%y=1-x^2$%. Ось абсцисс эта парабола пересекает при $%1-x^2=0$%, то есть $%x=\pm1$%. Граница фигуры состоит из двух линий: отрезка оси абсцисс от $%-1$% до $%1$%, и дуги параболы.

Теперь можно сделать пространственный рисунок. Уравнения $%y=0$% и $%y=1-x^2$% не зависят от $%z$%. Это значит, что фигуру в плоскости $%Oxy$% можно перемещать вверх перпендикулярно этой плоскости. При этом возникает "трубка", один край у которой плоский, а второй -- закруглённый. Она идёт от плоскости $%Oxy$% в верхнем направлении.

Теперь надо учесть последнее условие: $%x+y+z=3$%. Это уравнение плоскости, причём наклонной (по отношению к $%Oxy$%). Она срезает нашу "трубку" сверху, и это полностью задаёт тело. На основании данного описания можно уже сделать рисунок.

Теперь можно найти объём. Это будет тройной интеграл, который сводится к повторному. У нас сначала $%x$% меняется от $%-1$% до $%1$% вдоль плоской фигуры, затем $%y$% при фиксированном $%x$% меняется от $%0$% до $%1-x^2$%. Наконец, при фиксированных $%x,y$% переменная $%z$% изменяется от $%z=0$% (низ) до $%z=3-x-y$% (верх). Таким образом, объём тела равен $$\iiint\limits_Vdxdydz=\int\limits_{-1}^1dx\int\limits_0^{1-x^2}dy\int\limits_0^{3-x-y}dz.$$ Вычисление такого интеграла труда не составляет. Ответ потом можно будет при желании сверить.