пространство - Уравнение для луча

Если дана точка $%(x_0,y_0,z_0)$% и из неё исходит ненулевой вектор $%(a,b,c)$%, то этим задаётся луч, параметрическое уравнение которого имеет вид $%(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c)$%, где $%t\ge0$%. Его можно записать в координатном виде как систему их трёх условий: $%x=x_0+at$%, $%y=y_0+bt$%, $%z=z_0+ct$%.

Предположим теперь, что нам дана какая-то ещё точка с координатами $%(x_1,y_1,z_1)$%, и надо найти ближайшую к ней точку на луче. Найдём для начала ближайшую к ней точку не на луче, а на прямой. Параметрическое уравнение прямой будет такое же, но без ограничения $%t\ge0$%, то есть $%t$% может быть и отрицательным.

Рассмотрим квадрат расстояния от точки $%(x_1,y_1,z_1)$% до точки прямой с координатами $%x_0+at,y_0+bt,z_0+ct)$%. Эта величина представляет собой функцию от $%t$%, равную $%f(t)=(at+x_0-x_1)^2+(bt+y_0-y_1)^2+(ct+z_0-z_1)^2$%. Минимальное значение эта функция принимает в такой точке $%t$%, для которой производная функции по $%t$% равна нулю. Поскольку при дифференцировании везде будет появляться множитель $%2$%, мы сразу на него разделим, получая $%\frac12f'(t)=a(at+x_0-x_1)+b(bt+y_0-y_1)+c(ct+z_0-z_1)=0$%. Получилось линейное уравнение относительно $%t$% с положительным коэффициентом $%a^2+b^2+c^2$% при $%t$%. Из него значение $%t$% однозначно выражается.

Далее, если оказалось, что $%t\ge0$%, то ближайшая точка прямой лежит на луче, и просто подставляем это значение $%t$% в параметрическое уравнение. Это даёт ближайшую точку на луче (к точке $%(x_1,y_1,z_1)$%). Но может так оказаться, что $%t < 0$%. Тогда из геометрических соображений легко видеть, что ближайшей точкой на луче будет его начало,то есть $%(x_0,y_0,z_0)$%.