функциональное_уравнение - Функциональные уравнения

По второй задаче ответ -- нет. Заметим, что условие $%g(f(x))=x^3$% означает, что отображение $%f$% должно быть инъективным (от противного), а $%g$% -- сюръективным. Применяя к этому равенству функцию $%f$%, получаем $%f^2(x)=f(x^3)$%, поэтому $%f^2(0)=f(0)$%, $%f^2(1)=f(1)$%, $%f^2(-1)=f(-1)$%. Таким образом, $%f(0),f(1),f(-1)\in\{0,1\}$%, что противоречит инъективности $%f$%.

В первой задаче, рассуждая аналогично заключаем, что $%f$% инъективна и что $%f(1)=1$%. Далее можно выполнить явное построение. Запрещено брать $%f(x)=x$% и $%f(x)=x^2$%, т.к. это приведёт к противоречию с понятием функции или с инъективностью. Вариант может быть такой:$$f(2)=3$$$$f(3)=f(f(2))=4$$$$f(4)=f(f(3))=9$$$$f(9)=f(f(4))=16$$$$...$$ Для $%f(5)$% берём значение, которое не встречалось ни в левой ни в правой частях написанных равенств, например: $$f(5)=6$$$$f(6)=f(f(5))=25$$$$f(25)=f(f(6))=36$$$$...$$ По тому же принципу можно принять $%f(7)=8$% и т.д. Т.е. достаточно $%f$% в новой точке присваивать не встретившееся ранее натуральное значение, не являющееся квадратом.

Наверное, ещё лучше такой вариант: берём $%f$% -- вполне мультипликативную функцию, которую достаточно определить на простых числах подходящим образом. Например: $%f(p_{2i})=p_{2i-1}$%, $%f(p_{2i-1})=p_{2i}^2$%.